В справочнике приводятся основные данные для
проектирования мостов и труб: таблицы по расчету отверстий, основные сведения о
главнейших строительных материалах, таблицы для статического расчета
конструкций, а также нормативные материалы по габаритам, расчетным нагрузкам,
допускаемым напряжениям и пр.
Справочник
рассчитан на инженеров, студентов вузов и техников, проектирующих мосты.
Упругая линия между A и B представляет дугу круга радиуса ρ
Схема нагрузки; эпюры M,
Qи линия прогибов
Опорные реакции Aи B
Поперечная сила в сечении x,
Qx
Q1 = -P;
Q2 = 0
Моменты в сечении x,
Mx
На участке AB:
На участке CA:
(на участке AP);
(на участке PB)
Минимальный момент Mmin и расстояние x0
(под грузом P)
Уравнение упругой линии
На участке AB:
На консолях:
На участке AB:
На участке AB:
На участке CA:
На участке BD:
На участке AP:
На участке Pb
Наибольший прогиб и его
место ymax
при x = 0,577l
Прогиб под грузом P:
Прогиб в любом сечении консоли на
расстоянии x1 от A до B
ymax в пролете:
прогиб в c:
Максимальный прогиб на расстоянии:
приa > b
приb > a
Таблица 142
Опорные моменты и опорные
реакции балки с одним защемленным и другим свободно опертым концом (момент
инерции постоянен)
Схема загружения
Опорные реакции
Опорные моменты
B = p - A
B = 2p - A
A = 0,233pl;
B = 0,433pl
Таблицa 143
Коэффициенты K для определения величин опорных моментов балки MB защемленной одним концом при действии на нее
различных видов нагрузок, а также при осадке опор
Формулы момента
MB
Схемы нагрузки
Значения коэффициента α
0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
Значение коэффициента K
-KPl
0,000
0,0855
0,1440
0,1785
0,1920
0,1875
0,1680
0,1365
0,0960
0,0495
0,000
-KPl
0,000
0,0495
0,0900
0,1355
0,1680
0,1875
0,1920
0,1785
0,1440
0,0855
0,000
-KPl
0,000
0,1350
0,2400
0,3150
0,3600
0,3750
0,3600
0,3150
0,2400
0,1350
0,000
-KPl
0,000
0,0355
0,0480
0,0420
0,0240
0
-0,0240
-0,0420
-0,0480
-0,0355
0,00
+KM
1,000
0,7150
0,4600
0,2350
0,0400
-0,1250
-0,2600
-0,3650
-0,4400
-0,4850
-0,5000
0,000
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
-Kql2
0,000
0,0045
0,0162
0,0325
0,0512
0,0703
0,0882
0,1035
0,1152
0,1225
0,1250
-Kql2
0,000
0,0025
0,0098
0,0215
0,0368
0,0547
0,0738
0,0925
0,1088
0,1205
0,1250
-Kql2
0,000
0,0187
0,0370
0,0546
0,0710
0,0860
0,0990
0,1098
0,1180
0,1232
0,1250
-Kql2
0,000
0,0070
0,0260
0,0540
0,0880
0,1250
-
-
-
-
-
-Kql2
0,000
0,0020
0,0064
0,0110
0,0144
0,0156
0,0144
0,0110
0,0064
0,0020
0,000
-Kql2
0,000
0,0030
0,0105
0,0207
0,0319
0,0427
0,0520
0,0587
0,0623
0,0623
0,0584
-Kql2
0,000
0,0017
0,0065
0,0142
0,0241
0,0354
0,0471
0,0577
0,0657
0,0694
0,0567
-Kql2
0,000
0,0045
0,0170
0,0349
0,0560
0,0781
-
-
-
-
-
-Kql2
0,000
0,0016
0,0057,
0,0118
0,0193
0,0276
0,0363
0,0448
0,0529
0,0603
0,0657
-Kql2
0,000
0,0009
0,0033
0,0073
0,0127
0,0193
0,0253
0,0349
0,0431
0,0511
0,0584
-Kql2
0,000
0,0024
0,0090
0,0191
0,0320
0,0469
-
-
-
-
-
-Kql2
0,000
0,1226
0,1160
0,1059
0,0930
0,0781
-
-
-
-
-
-Kq0l2
0,0307
0,0725
0,0748
0,0842
0,0900
0,0959
0,1017
0,1075
0,1134
0,1192
0,1250
Таблица 144
Опорные моменты и опорные
реакции балки, защемленной двумя концами (момент инерции постоянен)
Схема загружения
Опорные реакции
Опорные моменты
B = qb - A
A = B = P
A = B = P
MA = MB =
-0,222Pl
A = B = 1,5P
MA = MB =
-0,313Pl
A = B = 2P
MA = MB =
-0,4Pl
MA = 0;
MB = +M
Таблица 145
Коэффициенты KA и KB для
определения величин опорных моментов балки, защемленной двумя концами
Для расчета многопролетных
неразрезных балок с равными пролетами приведены таблицы 146 - 160.
В таблицах146- 151 для двух- и трехпролетных балок с равными
пролетами и постоянным моментом инерции приведены ординаты линий влияния
моментов и опорных реакции, а также площади линии влияния моментов и поперечных
сил. Ординаты линий влияния для поперечных сил приведены на рисунках 33, 34 и
36.
Очертания остальных линий
влияния и обозначения даны на рисунках 32 и 35.
Рис
32. Линии влияния усилий в двухпролетной балке
Рис.
33. Ординаты линий влияния поперечных сил в двухпролетной балке (штриховкой
показана линия влияния Q4)
Рис.
34. Ординаты линий влияния поперечных сил в первом пролете трехпролетной балки
(штриховкой показана линия влияния Q5)
Рис. 35. Линии влияния усилий в
трехпролетной балке
Рис. 36. Ординаты линий влияния поперечных
сил для сечений в среднем пролете трехпролетной балки (штриховкой показана
линия влияния Q15)
В таблицах 152 - 153 для четырехпролетной неразрезной балки с
равными пролетами и постоянными моментами инерции приведены ординаты и площади
линий влияния моментов поперечных сил и опорных реакций (рисунки 37 - 38).
Рис.
37. Линии влияния моментов в четырехпролетной балке
Рис.
38. Ординаты линий влияния опорных реакций и поперечных сил в четырехпролетной балке
Таблицы 146 - 153 могут применяться и в том случае, когда
пролеты неразрезной балки l1, l2, ...lnнеравны между собой, но
жесткость балки в пролетах меняется пропорционально их пролетам, т.е. если
имеет место отношение В этом случае следует
величине l, являющейся табличным множителем,
придавать значения, соответствующие величинам пролетов, на которых расположены
ординаты линий влияния Mили
площади влияния Mи
Q.
В табл. 155 даются коэффициенты для вычисления фокусных
расстоянии в неразрезных балках с постоянным моментом инерции при некоторых
соотношениях в длинах пролетов.
В таблицах 156 - 157 для неразрезных балок с постоянными
моментами инерции приведены формулы для определения усилии в балках, вызываемых
осадками опор.
Для приближенного
определения расчетных моментов и опорных реакции в двух- и трехпролетных балках
с учетом влияния переменности моментов инерции по длине пролета (наличие
прямолинейных или параболических вут) могут быть использованы таблицы 158 - 160.
Моменты
для балок с 5 и более пролетами, особенно от подвижной нагрузки, сравнительно
мало отличаются от моментов для балки с 4 пролетами. Поэтому на практике при
расчете многопролетных балок обычно ограничиваются рассмотрением
четырехпролетной балки.
Необходимо помнить, что
величина площади и ординаты линии влияния определяются по таблицам путем
умножения табличных коэффициентов на множители:
l2 - для площадей линий
влияния M,
l-»»»»Q,
l -»ординат линий влияния М,
где l - длина пролета.
Таблица 146
Ординаты линий влияния
моментов и опорных реакций для двухпролетной неразрезной балки с равными
пролетами (рис. 32)
№ ординаты (положение груза P-1)
Ординаты линий влияния y
моментов в сечениях
опорных реакции
х = 0,2l
х = 0,4l
х = 0,5l
х = 0,6l
х = 0,8l
х = 0,9l
х = 1,0l
крайней
средней
M2
M4
M5
M6
M8
M9
M10
A
B
0
0
0
0
0
0
0
0
1,0000
0
1
0,0751
0,0501
0,0376
0,0252
0,0002
-0,0123
-0,0248
0,8753
0,1495
2
0,1504
0,1008
0,0760
0,0512
0,0016
-0,0232
-0,0480
0,7520
0,2960
3
0,1264
0,1527
0,1159
0,0791
0,0054
-0,0311
-0,0683
0,6318
0,4365
4
0,1032
0,2064
0,1580
0,1096
0,0128
-0,0356
-0,0840
0,5160
0,5680
5
0,0813
0,1625
0,2031
0,1438
0,0250
-0,0344
-0,0938
0,4063
0,6875
6
0,0608
0,1216
0,1520
0,1824
0,0432
-0,0264
-0,0960
0,3040
0,7920
7
0,0422
0,0843
0,1054
0,1265
0,0686
-0,0103
-0,0893
0,2108
0,8785
8
0,0256
0,0512
0,0640
0,0768
0,1024
0,0152
-0,0720
0,1280
0,9440
9
0,0115
0,0229
0,0286
0,0344
0,0458
0,0515
-0,0428
0,0573
0,9855
10
0
0
0
0
0
0
0
0
1,000
11
-0,0086
-0,0171
-0,0214
-0,0257
-0,0342
-0,0385
-0,0428
-0,0428
0,9855
12
-0,0114
-0,0288
-0,0360
-0,0432
-0,0576
-0,0648
-0,0720
-0,0720
0,9440
13
-0,0179
-0,0357
-0,0416
-0,0536
-0,0714
-0,0803
-0,0893
-0,0893
0,8785
14
-0,0192
-0,0384
-0,0480
-0,0576
-0,0768
-0,0864
-0,0960
-0,0960
0,7920
15
-0,0188
-0,0375
-0,0469
-0,0563
-0,0750
-0,0844
-0,0938
-0,0938
0,6875
16
-0,0168
-0,0336
-0,0420
-0,0501
-0,0672
-0,0756
-0,0840
-0,0840
0,5680
17
-0,0137
-0,0273
-0,0341
-0,0410
-0,0546
-0,0611
-0,0683
-0,0683
0,4365
18
-0,0096
-0,0192
-0,0240
-0,0288
-0,0384
-0,0432
-0,0480
-0,0480
0,2950
19
-0,0050
-0,0099
-0,0124
-0,0149
-0,0198
-0,0223
-0,0248
-0,0248
0,1495
20
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Множитель
l
1,00
Таблица 147
Площади линий влияния моментов
и опорных реакций для двухпролетной неразрезной балки с равными пролетами (смрис. 32)
ω
Плошали линии слиянии
моментов в сечениях
опорых реакций
х = 0,2l
х = 0,4l
х = 0,5l
х = 0,6l
х = 0,8l
х = 0,9l
х = 1,0l
крайней
средней
M2
M4
M5
M6
M8
M9
M10
A
B
ω1
+0,0675
+0,0950
+0,09375
+0,08250
+0,0300
-0,0175
+0,00611
-0,0625
+0,4375
-
ω2
-0,0125
-0,0250
-0,03125
-0,03750
-0,0500
-0,05611
-0,0625
-0,0625
-
ω3
-
-
-
-
-
-
-
-
+1,25
∑ω
+0,055
+0,0700
+0,0625
+0,0450
-0,0200
-0,0675
-0,1250
+0,375
+1,25
Множитель
l2
l
Таблица 148
Площади линий влияния
поперечных сил (см. рис. 33) для двухпролетной неразрезной балки с
равными пролетами
ω
Плошали линий влияния для поперечных сил в сечениях
х = 0
х = 0,2l
х = 0,4l
х = 0,5l
х = 0,6l
х = 0,8l
х = 0,9l
х = 1,0l
Множитель
Q0
Q2
Q1
Q5
Q6
Q8
Q9
Q10(лев)
-ω1
0
-0,0249
-0,0984
-0,1523
-0,2169
-0,3744
-0,4652
-0,5625
l
+ω1
+0,4375
+0,2624
+0,1359
+0,0898
+0,0544
+0,0119
+0,0027
0
-ω2
-0,0625
-0,0625
-0,0625
-0,0625
-0,0625
-0,0625
-0,0625
-0,0625
∑ω
+0,375
+0,175
-0,025
-0,125
-0,225
-0,425
-0,525
-0,625
Таблица 149
Ординаты линий слияния
моментов и опорных реакций для трехпролетной неразрезной балки с равными
пролетами (рис. 35)
№ ординаты
Ординаты линий влияния y
моментов в сечениях
опорных реакций
х = 0,2l
х = 0,4l
х = 0,6l
х = 0,8l
х = 0,9l
х = 1,0l
х = 1,1l
х = 1,2l
х = 1,5l
крайней
средней
M2
M4
M6
M8
M9
M10
M11
M12
M15
A
B
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1,0000
0
1
0,0747
0,0494
0,0242
-0,0011
-0,0138
-0,0264
-0,0231
-0,0198
-0,0099
0,8736
0,1594
2
0,1498
0,0995
0,0493
-0,0010
-0,0261
-0,0512
-0,0448
-0,0384
-0,0192
0,7488
0,3152
3
0,1254
0,1509
0,0763
+0,0018
-0,0355
-0,0728
-0,0637
-0,0546
-0,0273
0,6272
0,4638
4
0,1021
0,2042
0,1062
0,0083
-0,0406
-0,0896
-0,0784
-0,0672
-0,0336
0,5104
0,6016
5
0,0800
0,1600
0,1400
0,0200
-0,0400
-0,1000
-0,0875
-0,0750
-0,0375
0,4000
0,7250
6
0,0595
0,1190
0,1786
0,0381
-0,0322
-0,1024
-0,0896
-0,0768
-0,0384
0,2976
0,8364
7
0,0410
0,0819
0,1229
0,0638
-0,0157
-0,0952
-0,0833
-0,0714
-0,0357
0,2048
0,9142
8
0,0246
0,0493
0,0739
0,0986
+0,0109
-0,0768
-0,0672
-0,0576
-0,0288
0,1232
0,9728
9
0,0109
0,0218
0,0326
0,0435
0,0490
-0,0456
-0,0399
-0,0342
-0,0171
0,0544
1,0026
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1,000
11
-0,0078
-0,0156
-0,0234
-0,0312
-0,0351
-0,0390
+0,0534
0,0458
0,0230
-0,0390
0,9630
12
-0,0128
-0,0256
-0,0384
-0,0512
-0,0576
-0,0640
+0,0192
0,1024
0,0520
-0,0640
0,8960
13
-0,0154
-0,0308
-0,0462
-0,0616
-0,0693
-0,0770
-0,0042
0,0686
0,0870
-0,0770
0,8050
14
-0,0160
-0,0320
-0,0480
-0,0640
-0,0720
-0,0800
-0,0184
0,0432
0,1280
-0,0800
0,6960
15
-0,0150
-0,0300
-0,0450
-0,0600
-0,0675
-0,0750
-0,0250
0,0250
0,1750
-0,0750
0,5750
16
-0,0128
-0,0256
-0,0384
-0,0512
-0,0576
-0,0640
-0,0256
0,0128
0,1280
-0,0640
0,4480
17
-0,0098
-0,0196
-0,0294
-0,0392
-0,0441
-0,0490
-0,0218
0,0054
0,0870
-0,0490
0,3210
18
-0,0064
-0,0128
-0,0192
-0,0256
-0,0288
-0,0320
-0,0152
0,0016
0,0520
-0,0320
0,2000
19
-0,0030
-0,0060
-0,0090
-0,0120
-0,0135
-0,0150
-0,0074
0,0002
0,0230
-0,0150
0,0910
20
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
21
0,0023
0,0046
0,0068
0,0091
0,0103
0,0114
0,0057
0
-0,0171
0,0114
-0,0684
22
0,0038
0,0077
0,0115
0,0154
0,0173
0,0192
0,0096
0
-0,0288
0,0192
-0,1152
23
0,0048
0,0095
0,0143
0,0190
0,0214
0,0238
0,0119
0
-0,0357
0,0238
-0,1428
24
0,0051
0,0102
0,0154
0,0205
0,0230
0,0256
0,0128
0
-0,0384
0,0256
-0,1536
25
0,0050
0,0100
0,0150
0,0200
0,0225
0,0250
0,0125
0
-0,0375
0,0250
-0,1500
26
0,0045
0,0090
0,0134
0,0179
0,0202
0,0224
0,0112
0
-0,0336
0,0224
-0,1344
27
0,0036
0,0073
0,0109
0,0146
0,0164
0,0182
0,0091
0
-0,0273
0,0182
-0,1092
28
0,0026
0,0051
0,0077
0,0102
0,0115
0,0128
0,0064
0
-0,0192
0,0128
-0,0768
29
0,0013
0,0026
0,0040
0,0053
0,0059
0,0066
0,0033
о
-0,0099
0,0066
-0,0396
30
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Множитель
l
1,00
Таблица 150
Площади линии влияния
моментов и опорная реакция для трехпролетной неразрезной балки с равными
пролетали (рис. 35)
ω
Площади линий влияния
моментов в сечениях
опорных реакций
х = 0,2l
х = 0,4l
х = 0,6l
х = 0,8l
х = 0,9l
х = 1,0l
х = 1,1l
х = 1,2l
х = 1,5l
крайней
средней
M2
M1
M6
M8
M9
M10
M11
M12
M15
A
B
ω1
+0,0668
+0,0934
+0,0800
-0,0006
+0,0270
-0,0209
+0,0056
-0,0667
-0,0578
-0,0500
-0,0250
+0,433
-
ω2
-0,0100
-0,0200
-0,0300
-0,0396
-0,04452
-0,0500
+0,0072
-0,0124
+0,0300
+0,0750
-0,050
-
ω1-2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+1,200
ω3
+0,0032
+0,0066
+0,0100
+0,0132
+0,01482
+0,0167
+0,0080
0
-0,0250
+0,017
-0,100
∑ω
+0,0600
+0,0800
+0,0600
0
-0,0450
-0,100
-0,0550
-0,0200
+0,0250
+0,400
+1,100
Множитель
l2
l
Таблица 151
Площади линий влияния
поперечных сил для трехпролетной
неразрезной балки с равными пролетами (рисунки 34и 36)
ω
Площади линий влияния Qв сечениях
х = 0
х = 0,2l
х = 0,4l
х = 0,5l
х = 0,6l
х = 0,8l
х = 0,9l
х = l
х = l
х = 1,1l
х = 1,2l
х = 1,5l
Q0
Q2
Q4
Q5
Q6
Q8
Q9
Q10(лев)
Q10(прав)
Q11
Q12
Q15
±ω1
-0,4333
+0,2585
-0,0252
+0,1329
-0,0996
+0,0875
-0,1542
+0,0527
-0,2194
+0,0113
-0,3780
+0,0026
-0,4691
-0,5657
+0,0833
+0,0833
+0,0833
+0,0833
±ω2
-0,050
-0,050
-0,050
-0,050
-0,050
-0,050
-0,050
-0,050
+0,500
+0,4037
-0,0037
+0,3158
-0,0158
+0,1146
-0,1146
±ω3
+0,0167
+0,0167
+0,0167
+0,0167
+0,0167
+0,0167
+0,0167
+0,0167
-0,0833
-0,0833
-0,0833
-0,0833
∑ω
0,400
0,200
0,000
-0,1000
-0,200
-0,400
-0,500
-0,600
+0,500
+0,400
+0,300
0
Множитель
l
Таблица 152
Ординаты линий влияния
моментов четырехпролетной неразрезной балки с равными пролетами (рис. 37)
Пролет
№ ординаты
Ординаты линий влияния у моментов в сечениях
x = l
x = 2l
Множитель
M1
M2
M3
M4
M6
M8
M9
M10
M12
1-й пролет
1
+0,13166
+0,09664
+0,06163
+0,02662
-0,04340
-0,02508
-0,01592
-0,00675
+0,01157
2
+0,09788
+0,19577
+0,12699
+0,05820
-0,07936
-0,04586
-0,02910
-0,01235
+0,02116
3
+0,06659
+0,13319
+0,19978
+0,09970
-0,10045
-0,05803
-0,03683
-0,01563
+0,02679
4
+0,03902
+0,07804
+0,11706
+0,15608
-0,09921
-0,05732
-0,03638
-0,01543
+0,02645
5
+0,01641
+0,03282
+0,04923
+0,06564
-0,06820
-0,03941
-0,02501
-0,01061
+0,01819
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2-й пролет
7
-0,00944
-0,01888
-0,02832
-0,03775
-0,05663
+0,06399
+0,04096
+0,01794
-0,02811
l
8
-0,01301
-0,02601
-0,03902
-0,05203
-0,07804
+0,15081
+0,09856
+0,04632
-0,05816
9
-0,01228
-0,02455
-0,03683
-0,04911
-0,07366
+0,09077
+0,17299
+0,08854
-0,08036
10
-0,00882
-0,01764
-0,02646
-0,03527
-0,05291
+0,04762
+0,09788
+0,14815
-0,08466
11
-0,00420
-0,00840
-0,01261
-0,01681
-0,02522
+0,01835
-0,04014
+0,06192
-0,06118
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3-й пролет
13
+0,00255
+0,00510
+0,00765
+0,01020
+0,01529
-0,01020
-0,02294
-0,03569
-0,06118
l
14
+0,00353
+0,00706
+0,01058
+0,01411
+0,02116
-0,01411
-0,03175
-0,04938
-0,08466
15
+0,00335
+0,00670
+0,01005
+0,01339
+0,02009
-0,01339
-0,03013
-0,04687
-0,08036
16
+0,00242
+0,00485
+0,00727
+0,00969
+0,01454
-0,00969
-0,02181
-0,03393
-0,05816
17
+0,00117
+0,00234
+0,00351
+0,00468
+0,00703
-0,00468
-0,01054
-0,01640
-0,02811
18
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4-й пролет
19
-0,00076
-0,00152
-0,00227
-0,00303
-0,00455
+0,00303
+0,00682
+0,01061
+0,01819
l
20
-0,00110
-0,00220
-0,00331
-0,00441
-0,00661
+0,00441
+0,00992
+0,01543
+0,02645
21
-0,00120
-0,00224
-0,00335
-0,00448
-0,00670
+0,00448
+0,01004
+0,01562
+0,02679
22
-0,00088
-0,00176
-0,00265
-0,00353
-0,00529
+0,00353
+0,00794
+0,01234
+0,02116
23
-0,00048
-0,00097
-0,00145
-0,00193
-0,00289
+0,00193
+0,00434
+0,00675
+0,01157
24
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Таблица 153
Площади линий влияния
моментов для четырехпролетной неразрезной балки с равными пролетами (см. рис. 37)
Пролеты
Площади
Площади линий влияния моментов в сечениях
1
2
3
4
6
8
9
10
12
Множители
M1
M2
M3
M4
M6
M8
M9
M10
M12
1
ω1
+0,05828
+0,08879
+0,09152
+0,06647
-0,06696
-0,03869
-0,02453
-0,01042
+0,01786
l2
2
ω2
-0,00819
-0,01637
-0,02455
-0,03274
-0,04911
+0,06052
+0,07366
+0,05903
-0,05357
l2
3
ω3
+0,00223
+0,00446
+0,00670
+0,00893
+0,01339
-0,00893
-0,02009
-0,03125
-0,05357
l2
4
ω4
-0,00074
-0,00149
-0,00223
-0,00298
-0,00445
+0,00298
+0,00670
+0,01042
+0,01786
l2
∑ω
+0,0517
+0,0754
+0,0714
+0,0397
-0,1071
+0,0159
+0,0357
+0,0278
-0,0714
l2
Таблица 154
Площади линий влияния
поперечных сил Qи
опорных реакций для четырехпролетной неразрезнои балки с равными пролетами
(рис. 38)
ω
Площади линий влияния Qв сечениях
Площади линий влияния опорных реакций
3
6
9
12
Q3
Q6лев
Q6прав
Q9
Q12лев
Q12прав
A
B
C
ω1
±
0,088
0,155
-
0,567
0,085
-
0,085
-
0,085
-
-
0,022
0,433
-
0,652
-
-
0,107
ω2
±
-
0,049
-
0,049
0,496
-
0,112
0,116
-
0,504
0,067
-
-
0,049
0,545
-
0,571
-
ω3
±
0,013
-
0,013
-
-
0,067
-
0,067
-
0,067
0,504
-
0,013
-
-
0,080
0,571
-
ω4
±
-
0,004
-
0,004
0,022
-
0,022
-
0,022
-
-
0,085
-
0,004
0,027
-
-
0,107
∑ω
±
0,101
0,208
0,013
0,620
0,603
0,067
0,219
0,183
0,107
0,571
0,571
0,107
0,446
0,053
1,224
0,080
1,142
0,214
Множитель
l
Таблица 155
Значения коэффициентов
фокусных расстояний для двух-, трех- и четырехпролетных балок (рис. 39)
Опорные реакции
неразрезных балок, вызванные осадками опор
Схема балки
Опорная реакция
Значение опорных реакций при осадке опоры
Множитель
0
1
Двухпролетная с равными пролетами
R0
R1
Трехпролетная с равными пролетами 1 = li
R0
R1
R2
R3
Трехпролетная с неравными
пролетами 1 = m/j
R0
R1
R2
R3
Примечание. Знак +
соответствует реакции, направленной вверх.
Таблица 158
Значения коэффициента μ
к таблицам 159 и 160 при различных величинах.
I. Прямолинейный вут
II. Параболический вут
λ
Значения коэффициента μ при nравном
1,00
0,60
0,30
0,20
0,15
0,12
0,10
0,08
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,50
I
II
1,000
1,000
0,891
0,907
0,815
0,810
0,768
0,765
0,740
0,736
0,720
0,716
0,703
0,702
0,685
0,685
0,664
0,665
0,652
0,654
0,639
0,641
0,621
0,627
0,600
0,610
0,40
I
II
1,000
1,000
0,899
0,909
0,792
0,815
0,743
0,771
0,712
0,744
0,692
0,724
0,676
0,712
0,659
0,697
0,637
0,677
0,626
0,668
0,613
0,656
0,600
0,642
0,583
0,626
0,35
I
II
1,000
1,000
0,897
0,913
0,791
0,821
0,744
0,781
0,714
0,754
0,693
0,737
0,680
0,724
0,663
0,709
0,644
0,692
0,635
0,683
0,622
0,672
0,610
0,659
0,594
0,643
0,30
I
II
1,000
1,000
0,900
0,918
0,798
0,833
0,752
0,795
0,725
0,772
0,705
0,755
0,692
0,742
0,678
0,729
0,661
0,713
0,651
0,704
0,641
0,694
0,628
0,681
0,616
0,667
0,25
I
II
1,000
1,000
0,904
0,924
0,810
0,848
0,768
0,814
0,743
0,791
0,727
0,777
0,714
0,766
0,701
0,755
0,686
0,740
0,677
0,731
0,660
0,722
0,657
0,711
0,646
0,698
0,20
I
II
1,000
1,000
0,914
0,935
0,830
0,868
0,793
0,337
0,771
0,818
0,757
0,806
0,746
0,797
0,734
0,786
0,721
0,773
0,714
0,767
0,705
0,758
0,697
0,749
0,686
0,737
0,15
I
II
1,000
1,000
0,928
0,946
0,857
0,893
0,826
0,867
0,809
0,581
0,809
0,841
0,788
0,834
0,778
0,825
0,768
0,814
0,761
0,809
0,755
0,801
0,748
0,794
0,738
0,783
Таблица 159
Площади линий влияния
моментов и опорных реакций для двухпролетных неразрезных балок с учетом
переменности моментов инерции по длине пролетов при (предварительно по значениям nи
λ определяется μпо табл. 153)
μ
Площади линий влияния
опорного момента MB
пролетного момента в сечении max
опорных реакций
A
B
∑ω
ω1
ω2
∑ω
ω1
ω2
∑ω
ω1
ω2
1,00
-0,1250
-0,0625
-0,0625
+0,0703
+0,0957
-0,0254
+0,3750
+0,4375
-0,0625
+1,2500
0,95
-0,1316
-0,0658
-0,0658
+0,0679
+0,0943
-0,0264
+0,3684
+0,4342
-0,0658
+1,2632
0,90
-0,1388
-0,0694
-0,0694
+0,0652
+0,0927
-0,0275
+0,3612
+0,4306
-0,0694
+1,2776
0,85
-0,1470
-0,0735
-0,0735
+0,0623
+0,0910
-0,0287
+0,3530
+0,4265
-0,0735
+1,2940
0,80
-0,1562
-0,0781
-0,0781
+0,0591
+0,0890
-0,0299
+0,3438
+0,4219
-0,0781
+1,3124
0,75
-0,1666
-0,0833
-0,0833
+0,0556
+0,0868
-0,0312
+0,3334
+0,4167
-0,0833
+1,3332
0,70
-0,1786
-0,0893
-0,0893
+0,0516
+0,0843
-0,0327
+0,3214
+0,4107
-0,0893
+1,3572
0,65
-0,1924
-0,0962
-0,0962
+0,0473
+0,0315
-0,0342
+0,3076
+0,4038
-0,0962
+1,3848
0,60
-0,2084
-0,1042
-0,1042
+0,0425
+0,0783
-0,0358
+0,2915
+0,3958
-0,1042
+1,4168
0,55
-0,2272
-0,1136
-0,1136
+0,0372
+0,0747
-0,0375
+0,2728
+0,3864
-0,1136
+1,4544
Множитель
l2
l2
l2
l2
l2
l2
l
l
l
l
Примечания: 1. Пролеты балки одинаковые l1 = l2 = l.
2. Вид линий влияния и
обозначения - см. рис. 34.
Таблица 160
Площади линий влияния
моментов и опорных реакций для трехпролетных неразрезных балок с учетом
переменности моментов инерции по длине пролетов при (предварительно по значениям nи
λ определяется μ по
табл. 158)
μ
Площади линий влияния
пролетных моментов всечении maxM
Ml1
Ml2
∑ω
ω1
ω2
ω3
∑ω
ω1
ω2
ω3
1,00
+0,0800
+0,0939
-0,0204
+0,0065
+0,0250
-0,025
+0,0750
-0,025
0,95
+0,0783
+0,0921
-0,0210
+0,0072
+0,0209
-0,0260
+0,0729
-0,0260
0,90
+0,0766
+0,0902
-0,0216
+0,0080
+0,0163
-0,0272
+0,0707
-0,0272
0,85
+0,0747
+0,0881
-0,0223
+0,0089
+0,0116
-0,0283
+0,0682
-0,0283
0,80
+0,0728
+0,0854
-0,0228
+0,0102
+0,0065
-0,0295
+0,0655
-0,0295
0,75
+0,0703
+0,0825
-0,0234
+0,0112
-0,0001
-0,0313
+0,0625
-0,0313
0,70
+0,0678
+0,0790
-0,0240
+0,0128
-0,0067
-0,0329
+0,0592
-0,0329
0,65
+0,0652
+0,0750
-0,0246
+0,0148
-0,0140
-0,0347
+0,0555
-0,0347
0,60
+0,0622
+0,0699
-0,0248
+0,0171
-0,0222
-0,0368
+0,0514
-0,0368
0,55
+0,0591
+0,0637
-0,0249
+0,0203
-0,0313
-0,0390
+0,0467
-0,0390
Множитель
l2
l2
Продолжение табл. 160
μ
Площади линий влияния
опорного момента
опорных реакций
MB
A
B
∑ω
ω1
ω2
ω3
∑ω
ω1
ω2
ω3
∑ω
ω1-2
ω3
1,00
-0,1000
-0,0667
-0,0500
+0,0167
+0,400
+0,433
-0,0500
+0,0167
+1,1000
+1,2001
-0,1001
0,95
-0,1042
-0,0707
-0,0521
+0,0186
+0,3958
+0,4293
-0,0521
+0,0186
+1,1042
+1,2121
-0,1079
0,90
-0,1087
-0,0753
-0,0543
+0,0209
+0,3913
+0,4247
-0,0543
+0,0209
+1,1087
+1,2258
-0,1171
0,85
-0,1134
-0,0803
-0,0568
+0,0237
+0,3866
+0,4197
-0,0568
+0,0237
+1,1134
+1,2411
-0,1277
0,80
-0,1185
-0,0866
-0,0595
+0,0276
+0,3815
+0,4134
-0,0595
+0,0276
+1,1185
+1,2603
-0,1418
0,75
-0,1251
-0,0938
-0,0625
+0,0312
+0,3749
+0,4062
-0,0625
+0,0312
+1,1251
+1,2813
-0,1562
0,70
-0,1317
-0,1024
-0,0658
+0,0365
+0,3683
+0,3976
-0,0658
+0,0365
+1,1317
+1,3071
-0,1754
0,65
-0,1390
-0,1128
-0,0695
+0,0434
+0,3610
+0,3872
-0,0695
+0,0434
+1,1390
+1,3387
-0,1996
0,60
-0,1472
-0,1261
-0,0736
+0,0525
+0,3528
+0,3739
-0,0736
+0,0525
+1,1472
+1,3783
-0,2311
0,55
-0,1563
-0,1432
-0,0782
+0,0651
-0,3437
+0,3568
-0,0782
+0,0691
+1,1563
+1,4297
-0,2734
Множитель
l2
l
l
Примечания: 1. Пролеты балки одинаковые l1 = l2 = l3 = l.
Нижеприводимые таблицы прогибов и углов поворота балок дают возможность
строить линии влияния прогибов для различных сечении и углов поворота крайних
опорных сечении в балках с одним, двумя, тремя и четырьмя равными пролетами, а
также в консольных балках от сосредоточенных сил, распределенной нагрузки и
моментов (X.А.
Винокурский «Расчет пространственных крановых мостов». Машгиз, 1948).
В зависимости от коэффициента η, определяющего положение
нагрузки, и коэффициента ζ,
зависящего от положения сечения, в котором определяется деформация, приведены
коэффициенты, которые, будучи умножены на указанный в таблицах множитель, дают
искомую деформацию.
Общие указания
При составлении таблиц для определения прогибов и углов поворота в
различных балках принято следующее правило знаков:
для прогибов:
+ перемещение вниз,
- перемещение вверх;
для углов поворота:
+ поворот, как указано на рис. 40,
- поворот по направлению,
противоположному указанному на рис. 40.
Рис. 40. Деформации балок (положительное направление углов
поворота)
При пользовании таблицами (кроме таблиц 161
и 165)
прогибы получаются в сантиметрах, если: сосредоточенные силы Рприняты в т; равномерно распределенная нагрузка q- в т на 1 пог. м, изгибающие моменты M-
в тм); пролеты l - в м; моменты инерции I - в см4; модуль упругости E-
в кг/см2.
Для консолей (рис. 41) при повороте сечения bна угол φ
прогиб точки aопределяется по формуле:
fa
= φl,
где φ
- берется по таблицам для углов поворота;
l - длина
консоли, м.
Рис. 41. Схема к определению прогибов консоли
Значение φ в целях сохранения размерности, указанной выше,
принято в таблицах увеличенным в 100 раз. Для определения истинного значения
угла поворота сечения, выраженного в радианах, следует табличный коэффициент
разделить на 100 (или, что то же, в множителе, указанном в таблице, принять 104
вместо 106).
Примеры определения деформаций балок по таблицам
Пример 1. Определить
прогиб в точке aи
угол поворота на опоре Aпри I
= 30000 см4, E = 2,5×105кг/см2для балки,
указанной на рис. 42.
а) От распределенной нагрузки qтабличный коэффициент равен 6,8;
величина прогиба от этой нагрузки:
б) От сосредоточенной нагрузки P1 при и ζ = 2,6
табличный коэффициент равен 3,584; прогиб:
в) От сосредоточенной нагрузки P2.
Рассматривая балку, у которой па опоре Bприложен момент M = 5×3 = 15 тм, по табл. 171
(последняя вертикальная колонка) при ζ = 2,6 табличный коэффициент
равен -49,048.
Тогда прогиб точки aот воздействия силы P2будет:
Полный прогиб:
Определение угла поворота крайнего
сечения A(см. табл. 171,
горизонтальная строка для ζ = 0).
От равномерно распределенной
нагрузки qтабличный коэффициент равен -25;
угол поворота, вызываемый
нагрузкой q:
От сосредоточенной нагрузки P1 при табличный коэффициент
равен 13,333;
угол поворота от этой нагрузки:
От сосредоточенной силы P2, вызывающей на опоре Bмомент M=
15,0 тм,
табличный коэффициент равен
11,133 (см. табл. 171, последняя вертикальная колонка);
Прогиб
середины свободно опертой балки с симметрично из меняющейся жесткостью от
сплошной равномерно распределенной нагрузки может быть найден по формуле:
где δ1/2 - прогиб
посередине пролета, м;
q- равномерно распределенная нагрузка, т/м;
E- модуль упругости, т/м2;
a - длина участков, количество которых на полупролете оставляет n;
2n- количество участков длиной a, на которые разделена вся балка;
A и B-
коэффициенты, приведенные в таблице;
I - моменты инерции
сечения балки в каждом участке длиною a.
Если балку (рис. 45)
разбить на 2n
равных панелей (например, 2n = 10) или, что то же, разбить полупролет на nучастков длиной a, то ордината в точке i ≤ nлинии
влияния прогиба для середины пролета выразится формулой1:
Ордината в точке 1 линии влияния прогиба для середины
балки определится из выражения:
(прогиб в метрах от нагрузки P = 1 т).
Рис. 45. Схема к определению ординат линии
влияния прогиба
Аналогично ордината в точке 5
(посредине пролета) определится из выражения:
Если при разбивке на равные
участки момент инерции меняется на каком-либо участке, то в расчет надо вводить
среднее значение момента инерции этого участка.
Пример
2. Определить прогиб в точке aдля балки, приведенной на рис. 43. I = 50000 см4и E = 2,1×106кг/см2.
Рис. 43. Расчетная схема к примеру 2
По табл. 166
прогиб в точке aот силы P без учета поворота
сечения на опоре B, т.е. как для консоли с заделкой на опоре B, при будет:
Угол поворота сечения на опоре Bот действия на балку ABмомента (рис. 44) M = 3×3,0 = 9,0 mм по табл. 162
будет:
Рис. 44. Схема к определению угла поворота
Прогиб точки aот поворота опоры B:
Полный прогиб точки а:
Таблица
161
Прогибы в середине пролета однопролетной свободно опертой балки от
сосредоточенного груза
η
Значение прогиба при η равном
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,00
0
0,625
1,249
1,873
2,495
3,115
3,732
4,346
4,957
5,609
0,1
6,167
6,764
7,356
7,942
8,521
9,094
9,659
10,216
10,764
11,303
0,2
11,833
12,353
12,863
13,361
13,848
14,323
14,785
15,835
15,671
16,092
0,3
16,500
16,893
17,269
17,630
17,973
18,302
18,612
18,904
19,177
19,432
0,4
19,667
19,882
20,075
20,249
20,401
20,531
20,639
20,723
20,784
20,821
0,5
20,833
Множитель
Примечание. Первая вертикальная графа
содержит десятые доли пролета, первая горизонтальная строка содержит сотые доли
пролета; например, при η = 0,27 прогиб равен
Таблица
162
Прогибы и углы поворота опорных сечений однопролетной свободно
опертой балки Значение прогибов и углов поворота
Вид деформации
Схема нагрузки
Значение прогибов и углов
поворота
ζ
при η равном
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Прогиб
в точке a
0,1
2,7
4,67
5,835
6,3
6,16
5,54
4,5
3,164
1,637
0,2
4,67
8,53
10,97
12,0
11,83
10,67
8,7
6,13
3,164
0,3
5,835
10,97
14,7
16,5
16,5
15,00
12,3
8,7
4,5
0,4
6,3
12,0
16.5
19,2
19,7
18,142
15,00
10,67
5,54
0,5
6,16
11,83
16,5
19,7
20,8
19,7
16,5
11,83
6,16
0,6
5,54
10,67
15,00
18,142
19,7
19,2
16,5
12,0
6,3
0,7
4,5
8,7
12,3
15,00
16,5
16,5
14,7
10,97
5,835
0,8
3,164
6,13
8,7
10,67
11,83
12,0
10,97
8,53
4,67
0,9
1,637
3,164
4,5
5,54
6,16
6,3
5,835
4,67
2,7
Множитель
Угол поворота на опоре
0
-28,5
-48
-59,5
-64
-62,5
-56
-40,5
-32
-16,5
1
-16,5
-32
-40,5
-56
-62,5
-64
-59,5
-48
-28,5
Множитель
Продолжение табл. 162
Вид деформации
Схема нагрузки
Значение прогибов и углов
поворота
ζ
при η равном
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Прогиб в точке a
0,1
0,139
0,514
1,045
1,657
2,285
2,874
3,379
3,764
4,005
4,087
16,5
0,2
0,237
0,907
1,894
3,053
4,254
5,387
6,361
7,107
7,574
7,733
32,0
0,3
0,295
1,143
2,441
4,017
5,681
7,267
8,641
9,698
10,361
10,587
45,5
0,4
0,317
1,240
2,677
4,480
6,442
8,347
10,015
11,307
12,122
12,400
56,0
0,5
0,310
1,217
2,644
4,467
6,510
8,554
10,377
11,804
12,710
13,021
62,5
0,6
0,278
1,093
2,385
4,053
5,958
7,920
9,722
11,160
12,082
12,400
64,0
0,7
0,226
0,890
1,946
3,320
4,906
6,570
8,146
9,444
10,293
10,587
59,5
0,8
0,159
0,627
1,372
2,346
3,479
4,680
5,839
6,827
7,497
7,733
48,0
0,9
0,082
0,323
0,709
1,213
1,802
2,43
3,042
3,573
3,949
4,087
28,5
Множитель
Угол поворота на опоре
0
-1,504
-5,4
-10,837
-17,067
-23,437
-29,4
-34,5041
-38,4
-40,837
-41,667
-166,67
1
-0,829
-3,267
-7,162
-12,267
-18,229
-24,6
-30,829
-36,267
-40,162
-41,667
-333,33
Множитель
Таблица 163
Коэффициенты для определения прогибов в середине пролета
однопролетной свободно опертой балки с переменным моментом инерции
Схема нагрузки
Значения коэффициентов Aи B
ζ
при η равном
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
0
3,115
0
6,167
0
9,094
0
11,833
0
14,323
0
16,5
0
0,05
3,094
0,021
6,146
0,021
9,073
0,021
11,813
0,021
14,320
0,021
16,479
0,021
0,10
3,0
0,114
5,97
0,167
8,927
0,167
11,667
0,167
14,156
0,167
16,333
0,167
0,15
2,844
0,271
5,687
0,479
8,531
0,562
11,271
0,562
13,75
0,562
15,937
0,562
0,20
2,625
0,489
5,25
0,917
7,875
1,218
10,5
1,333
12,990
1,333
15,167
1,333
0,25
2,344
0,771
4,687
1,479
7,031
9,375
2,458
11,719
2,604
13,896
2,604
0,30
2,012
1,114
4
2,167
6
3,094
8
3,833
10
4,323
12
4,5
0,35
1,594
1,521
3,20
2,979
4,781
4,312
6,375
5,458
7,969
6,354
9,562
6,937
0,40
1,125
1,989
2,25
3,917
4,5
7,333
5,625
8,698
6,75
9,75
0,45
0,594
2,521
1,20
4,979
1,781
7,312
2,375
9,458
2,969
11,354
3,562
12,937
0,50
0
3,114
0
6,167
0
9,094
0
11,833
0
14,323
0
16,5
Формула прогиба
Продолжение табл. 163
Схема нагрузки
Значения коэффициентов Aи B
при η равном
ζ
0,35
0,40
0,45
0,50
Значения коэффициентов Aи B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
0
18,302
0
19,667
0
20,531
0
20,833
0
13,021
0
62,5
0
0,05
18,281
0,021
19,646
0,021
20,510
0,021
20,812
0,021
13,001
0,020
61,875
0,625
0,10
18,135
0,167
19,5
0,167
20,365
0,167
20,267
0,167
12,857
0,164
60
2,5
0,15
17,739
0,562
19,104
0,562
19,969
0,562
20,271
0,562
12,522
0,499
56,875
5,0
0,20
16,969
1,333
18,333
1,333
19,198
1,333
19,5
1,333
11,887
1,133
52,5
10,0
0,25
15,698
2,604
17,062
2,604
17,927
2,604
18,229
2,604
10,905
2,116
46,875
15,625
0,30
13,802
4,5
15,167
4,5
16,031
4,5
16,333
4,5
9,533
3,487
40
22,5
0,35
11,156
7,146
12,521
7,146
13,385
7,146
13,687
7,146
7,751
5,270
31,875
30,625
0,40
7,875
10,427
9
10,667
9,865
10,667
10,167
10,667
5,554
7,467
22,5
40
0,45
4,156
14,146
4,75
14,917
5,344
15,187
5,646
15,187
2,959
10,062
11,875
50,625
0,50
0
18,302
1°
19,667
0
20,531
0
20,833
0
13,021
0
62,5
Формула прогиба
Таблица
164
Коэффициенты Aи Bдля вычисления прогиба от
равномерно распределенной нагрузки в середине однопролетной сзободно опертой
балки с симметрично изменяющейся жесткостью
№ участка
Значения коэффициентов
A
B
1
0,1666
0,125
2
1,1666
1,875
3
3,1666
8,125
4
6,1666
21,875
5
10,1666
46,125
6
15,1666
83,875
7
21,1666
138,125
8
28,1666
211,875
9
36,1666
308,125
10
45,1666
429,875
11
55,1666
580,125
12
66,1666
761,875
13
78,1666
978,125
14
91,1666
1231,875
15
105,1666
1526,125
16
120,1666
1863,875
17
136,1666
2248,125
18
153,1666
2681,875
19
171,1666
3168,125
20
190,1666
3709,875
21
210,1666
4310,125
22
231,1666
4971,875
23
253,1666
5698,125
24
276,1666
6491,875
25
300,1666
7356,125
Таблица
165
Коэффициенты Kдля вычисления ординат
линий влияния прогиба в середине однопролетнон свободно опертой балки с
симметрично изменяющейся жесткостью
№ участка n
Значения коэффициентов K
K1
K2
K3
K4
K5
K6
K7
K8
K9
K10
K11
K12
1
0,1666
0,75
1,25
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
5,75
0,1666
1,1666
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
7,5
8,5
9,5
10,5
11,5
3
0,1666
1,1666
3,1666
5,25
6,75
8,25
9,75
11,25
12,75
14,25
15,75
17,25
4
0,1666
1,1666
3,1666
6,1666
9,0
11,0
13,0
15,0
17,0
19,0
21,0
23,0
5
0,1666
1,1666
3,1666
6,1666
10,1666
13,75
16,25
18,75
21,25
23,75
26,25
28,75
6
0,1666
1,1666
3,1666
6,1666
10,1666
15,1666
19,5
22,5
25,5
28,5
31,5
34,50
7
0,1666
1,1666
3,1666
6,1666
10,1666
15,1666
21,1666
26,25
29,75
33,25
36,75
40,25
8
0,1666
1,1666
3,1666
6,1666
10,1666
15,1666
21,1666
28,1666
34,0
38,0
42,0
46,00
9
0,1666
1,1666
3,1666
6,1666
10,1666
15,1666
21,1666
28,1666
36,1666
42,75
47,25
51,75
10
0,1666
1,1666
3,1666
6,1666
10,1666
15,1666
21,1666
28,1666
36,1666
45,1666
52,50
57,5
11
0,1666
1,1666
3,1666
6,1666
10,1666
15,1666
21,1666
28,1666
36,1666
45,1666
55,1666
63,25
12
0,1666
1,1666
3,1666
6,1666
10,1666
15,1666
21,1666
28,1666
36,1666
45,1666
55,1666
66,1666
Таблица
166
Прогибы и углы поворота консольной балки от сосредоточенного груза
Вид деформации
ζ
Значения прогибов и углов
поворота при ηравном
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Прогиб в точке a
0,1
0,333
0,833
1,333
1,833
2,333
2,833
3,333
3,833
4,333
4,833
0,2
0,833
2,667
4,667
6,667
8,667
10,667
12,667
14,667
16,667
18,667
0,3
1,333
4,667
8
13,5
18
22,5
27
31,5
36
40,5
0,4
1,833
6,667
13,5
21,333
29,333
37,333
45,333
53,333
61,333
69,333
0,5
2,333
8,667
18
29,333
41,667
54,167
66,667
79,167
91,667
104,167
0,6
2,833
10,667
22,5
37,333
54,167
72
90
108
126
144
0,7
3,333
12,667
27
45,333
66,667
90
114,333
138,833
163,333
187,833
0,8
3,833
14,667
31,5
53,333
79,167
108
138,833
170,667
202,667
234,667
0,9
4,333
16,667
36
61,333
91,667
126
163,333
202,667
243
283,5
1,0
4,833
18,667
40,5
69,333
104,167
144
187,833
234,667
283,5
333,333
Множитель
Угол поворота
ζ = 1,0
5
20
45
80
125
180
245
320
405
500
Множитель
Таблица 167
Коэффициенты для определения прогибов и углов поворота консольной
балки от равномерно распределенной нагрузки и от момента на конце
Вид деформации
ζ
Значения прогибов и углов
поворота при ηравном
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Прогиб в точке a
0,1
2,337
2,325
2,267
2,158
2
1,792
1,533
1,225
0,867
0,458
5
0,2
8,733
8,704
8,533
8,167
7,6
6,833
5,867
4,7
3,333
1,767
20
0,3
18,337
18,292
18,004
17,325
16,2
14,625
12,6
10,125
7,2
3,825
45
0,4
30,4
30,379
29,933
29,937
27,2
24,667
21,333
17,2
12,267
6,533
80
0,5
44,271
44,192
43,671
42,358
40,004
36,458
31,667
25,625
18,333
9,792
125
0,6
59,4
59,304
58,667
57,037
54,067
49,504
43,2
35,1
25,2
13,5
180
0,7
75,337
75,225
74,471
72,525
68,937
63,358
55,537
45,325
32,667
17,558
245
0,8
91,733
91,604
90,733
88,471
84,267
77,671
68,333
56,004
40,533
21,867
320
0,9
108,375
108,229
107,241
104,662
99,842
92,229
81,375
66,929
48,642
26,325
405
1,0
125,000
124,837
123,733
120,837
115,4
106,771
94,4
77,837
56,733
30,837
500
Множитель
Угол поворота
ζ = 1,0
166,67
166,5
165,333
162,167
156
145,833
130,667
109,5
81,333
45,167
1000
Множитель
Таблица 168
Прогибы от сосредоточенной нагрузки в балке, заделанной обоими
концами
ζ
Значения прогибов в точке aпри ηравном
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,1
0,243
0,494
0,606
0,612
0,535
0,428
0,279
0,14
0,044
0,2
0,494
1,362
1,898
2,016
1,83
1,454
0,972
0,498
0,14
0,3
0,606
1,898
3,087
3,564
3,475
2,736
1,863
0,972
0,279
0,4
0,612
2,016
3,564
4,608
4,7
3,934
2,736
1,454
0,428
0,5
0,535
1,83
3,475
4,7
5,175
4,7
3,475
1,83
0,535
0,6
0,428
1,454
2,736
3,934
4,7
4,608
3,564
2,016
0,612
0,7
0,279
0,972
1,863
2,736
3,475
3,564
3,087
1,898
0,606
0,8
0,14
0,498
0,972
1,454
1,83
2,016
1,898
1,362
0,494
0,9
0,044
0,14
0,279
0,428
0,535
0,612
0,606
0,494
0,243
Множитель
Таблица 169
Прогибы балки, заделанной обоими концами, от равномерно
распределенной нагрузки
ζ
η = 1,0
Значения прогибов в точке aпри ηравном
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,1
0,010
0,047
0,103
0,165
0,223
0,271
0,307
0,327
0,336
0,338
0,2
0,018
0,111
0,278
0,477
0,671
0,836
0,958
1,031
1,062
1,067
0,3
0,022
0,143
0,397
0,736
1,087
1,396
1,628
1,767
1,828
1,838
0,4
0,022
0,148
0,429
0,846
1,316
1,751
2,088
2,295
2,386
2,401
0,5
0,020
0,132
0,394
0,801
1,301
1,804
2,211
2,470
2,585
2,605
0,6
0,016
0,103
0,313
0,650
1,082
1,555
1,972
2,250
2,378
2,401
0,7
0,010
0,068
0,210
0,443
0,748
1,102
1,441
1,693
1,816
1,838
0,8
0,006
0,035
0,108
0,231
0,394
0,590
0,790
0,955
1,049
1,067
0,9
0,002
0,009
0,031
0,067
0,114
0,173
0,235
0,292
0,328
0,338
Множитель
Таблица 170
Прогибы и углы поворота, двухпролетной неразрезной балки
Вид деформации
ζ
Значения прогибов и углов
поворота
при ηравном
0,1
2,0
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Прогиб в точке a
0,1
2,292
3,878
4,709
4,494
4,613
3,956
3,027
1,976
0,932
2,024
4,125
0,2
3,878
6,994
8,786
9,312
8,830
-7,598
5,844
3,826
1,796
3,733
8
0,3
4,709
8,786
11,595
12,678
12,234
10,632
8,239
5,424
2,555
4,90
11,375
0,4
4,914
9,312
12,678
14,496
14,45
12,766
10,002
6,638
3,146
5,40
14
0,5
4,613
8,83
12,234
14,45
14,91
13,7
10,992
7,33
3,488
5,209
15,625
0,6
3,956
7,598
10,632
12,776
13,7
13,056
10,778
7,392
3,564
4,40
16
0,7
3,027
5,844
8,239
10,002
10,922
10,788
9,389
6,686
3,291
3,15
14,875
0,8
1,976
3,826
5,424
6,638
7,33
7,392
6,686
5,074
2,618
1,733
12
0,9
0,932
1,796
2,555
3,146
3,488
3,564
3,291
2,618
1,482
0,525
7,125
1,1
-0,705
-1,368
-1,945
-2,394
-2,674
-2,736
-2,544
-2,052
-1,218
0,525
-9,375
1,2
-1,188
-2,304
-3,276
-4,032
-4,5
-4,608
-4,284
-3,456
-2,052
1,733
-20
1,3
-1,472
-2,856
-4,063
-4,998
-5,578
-5,712
-5,310
-4,284
-2,544
3,15
-30,625
1,4
-1,584
-3,072
-4,373
-5,376
-6
-6,144
-5,712
-4,608
-2,736
4,40
-40
1,5
-1,547
-3
-4,266
-5,25
-5,859
-6
-5,578
-4,5
-2,674
5,209
-46,875
1,6
-1,386
-2,688
-3,822
-4,704
-5,25
-5,376
-4,998
-4,032
-2,394
5,40
-50
1,7
-1,126
-2,184
-3,104
-3,822
-4,266
-4,373
-4,064
-3,276
-1,945
4,90
-48,125
1,8
-0,792
-1,536
-2,184
-2,688
-3
-3,072
-2,856
-2,304
-1,368
3,733
-40
1,9
-0,408
-0,792
-1,126
-1,386
-1,547
-1,587
-1,472
-1,188
-0,705
2,024
-24,375
Множитель
Угол
поворота на опоре
0
-24,375
-40
-48,125
-50
-46,875
-40
-25,625
-20
-9,375
-20,833
-41,677
2,0
+4,125
+8
+11,375
+14
+15,625
+16
+14,875
+12
+7,125
-20,833
+291,667
Множитель
Таблица
171
Прогибы и углы поворота трехпролетной неразрезной балки
Вид деформации
ζ
Прогибы и углы поворота при
ηравном
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
Прогиб в точке a
0,1
2,264
3,825
4,634
4,822
4,510
3,850
2,929
1,897
0,885
-0,643
-1,056
-1,27
-1,32
-1,237
2,442
-1,102
0,2
3,825
6,892
8,640
9,133
8,630
7,393
5,654
3,672
1,705
-1,248
-2,048
-2,164
-2,560
-2,400
4,53
-2,138
0,3
4,634
8,640
11,388
12,423
11,950
10,341
7,968
5,206
2,425
-1,774
-2,912
-3,506
-3,645
-3,412
6,037
-3,039
0,1
4,822
9,133
12,423
14,182
14,100
12,408
9,666
6,369
2,986
-2,184
-3,584
-4,312
-4,480
-4,200
6,8
-3,741
0,5
4,510
8,630
11,950
14,100
14,55
13,3
10,550
7,03
3,310
-2,439
-4,00
-4,813
-5,00
-4,687
6,772
-4,175
0,6
3,850
7,393
10,341
12,408
13,3
12,616
10,407
7,085
3,382
-2,496
-4,096
-4,928
-5,120
-4,800
6,0
-4,275
0,7
2,929
5,654
7,968
9,666
10,550
10,407
9,035
6,400
3,122
-2,320
-3,808
-4,582
-4,760
-4,462
4,637
-3,975
0,8
1,897
3,672
5,206
6,369
7,03
7,085
6,400
4,844
2,481
-1,872
-3,072
-3,695
-3,844
-3,600
2,93
-3,206
0,9
0,883
1,705
2,425
2,986
3,310
3,382
3,122
2,481
1,400
-1,111
-1,824
-2,194
-2,28
-2,139
1,242
-1,904
1,1
-0,643
-1,248
-1,774
-2,184
-2,439
-2,496
-2,320
-1,872
-1,111
1,341
2,318
2,832
2,964
2,783
-0,407
2,502
1,2
-1,056
-2,048
-2,912
-3,584
-4,00
-4,096
-3,808
-3,072
-1,824
2,318
4,434
5,706
6,112
5,830
-0,27
5,338
1,3
-1,27
-2,464
-3,506
-4,312
-4,813
-4,928
-4,582
-3,696
-2,194
2,832
5,705
7,889
8,828
8,625
+0,087
8,174
1,4
-1,32
-2,560
-3,645
-4,480
-5,00
-5,120
-4,760
-3,844
-2,28
2,964
6,112
8,828
10,496
10,700
+0,4
10,677
1,5
-1,237
-2,400
-3,412
-4,200
-4,687
-4,800
-4,462
-3,600
-2,139
2,783
5,830
8,625
10,700
11,425
0,522
12,513
1,6
-1,056
-2,048
-2,912
-3,584
-4,00
-4,096
-3,808
-3,072
-1,821
2,396
5,038
7,554
9,566
10,700
+0,4
13,347
1,7
-0,808
-1,568
-2,228
-2,744
-3,062
-3,141
-2,919
-2,352
-1,396
1,833
3,884
5,878
7,554
8,625
+0,087
12,848
1,8
-0,528
-1,024
-1,456
-1,792
-2,00
-2,043
-1,904
-1,540
-0,912
1,196
2,546
3,884
5,038
5,830
-0,27
10,678
1,9
-0,247
-0,48
-0,682
-0,840
-0,937
-0,96
-0,892
-0,720
-0,427
0,566
1,196
1,833
2,396
2,783
-0,407
6,507
2,1
0,188
0,365
0,519
0,638
0,712
0,730
0,678
0,517
0,325
-0,427
-0,912
-1,396
-1,824
-2,139
1,242
-8,890
2,2
0,317
0,614
0,874
1,075
1,2
1,229
1,142
0,922
0,547
-0,720
-1,540
-2,352
-3,072
-3,600
2,93
-19,184
2,3
0,393
0,762
1,083
1,333
1,487
1,523
1,416
1,142
0,678
-0,892
-1,904
-2,919
-3,808
-4,462
4,637
-29,613
2,4
0,422
0,819
1,165
1,434
1,600
1,638
1,523
1,229
0,730
-0,96
-2,048
-3,141
-4,096
-4,800
6,0
-38,913
2,5
0,412
0,800
1,137
1,400
1,562
1,600
1,487
1,200
0,712
-0,937
-2,00
-3,062
-4,00
-4,687
6,772
-45,812
2,6
0,370
0,717
1,019
1,254
1,400
1,434
1,333
1,075
0,638
-0,84
-1,792
-2,744
-3,584
-4,200
6,8
-49,048
2,7
0,300
0,582
0,828
1,019
1,137
1,165
1,083
0,874
0,519
-0,682
-1,456
-2,228
-2,912
-3,412
6,037
-47,351
2,8
0,211
0,410
0,528
0,717
0,800
0,819
0,762
0,614
0,365
-0,48
-1,024
-1,568
-2,048
-2,40
4,53
-39,486
2,9
0,109
0,211
0,300
0,370
0,412
0,422
0,393
0,817
0,188
-0,247
-0,528
-0,808
-1,056
-1,237
2,442
-24,94
Множитель
Угол
поворота на опоре
0
-24,1
-39,467
-47,367
-49,067
-45,833
-38,933
-24,633
-19,2
-8,9
+6,5
+10,667
+12,833
+13,333
+12,5
-25,0
11,133
3,0
-1,1
-2,133
-3,033
-3,733
-4,167
-4,267
-3,967
-3,2
-1,9
+2,5
+5,333
+8,167
+10,667
+12,5
-25,0
288,8
Множитель
Таблица 172
Прогибы и углы поворота четырехпролетной неразрезной балки
Нахождение перемещений по формуле Мора приводит к вычислению интегралов
вида:
На тех участках сооружения, где EIпостоянно, вопрос сводится к
вычислению интегралов:
По правилу Верещагина интегралы где одна из эпюр произвольного
очертания, а другая подчинена закону прямой линии, равны площади эпюры
произвольного очертания, умноженной на ординату прямолинейной эпюры, взятой под
центром тяжести первой эпюры. В табл. 173 приведены сочетания эпюр, наиболее
часто встречающихся в практике расчетов. Во все формулы следует подставлять
абсолютные величины моментов. Знак подинтегральиого произведения MiMkdxположителен, если моменты Miи Mkодного знака. Виды эпюр изгибающих
моментов, сочетания из которых приведены в табл. 173, показаны на рис. 46.
Рис. 46. Типовые эпюры (к табл. 173)
Таблица 173
Значения интегралов и (рис. 46)
№ перемножаемых эпюр
1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
1-8
1-9
1-10
1-11
1-12
1-13
1-14
1-15
1-16
1-17
1-18
1-19
1-20
1-21
1-22
3-3
3-4
3-5
3-6
3-8
3-9
3-10
3-11
3-12
3-13
3-14
3-15
3-16
3-17
3-18
3-19
3-20
3-21
3-22
4-6
4-8
4-10
4-11
4-12
4-17
4-18
4-20
4-22
5-5
5-6
5-10
5-11
5-12
5-13
5-15
5-16
5-17
5-18
5-19
5-20
5-22
6-6
6-7
6-8
6-9
6-9
6-9
6-10
6-11
6-12
6-12
6-12
6-14
6-15
6-16
6-17
6-18
6-19
6-21
7-8
8-8
8-9
8-10
8-11
8-12
8-14
8-15
8-17
8-18
8-21
9-9
9-11
9-14
9-15
9-17
9-18
9-21
10-10
10-11
10-14
10-15
10-16
10-17
10-18
10-21
11-11
11-12
11-13
11-14
11-15
11-16
11-17
11-18
11-19
11-20
11-22
12-12
12-14
12-15
12-16
12-17
12-19
12-21
13-13
13-17
13-18
14-14
14-15
14-17
14-18
14-21
14-22
15-15
15-16
15-17
15-18
15-19
15-21
15-22
16-18
16-22
17-17
17-18
17-21
17-22
18-19
18-21
18-22
18-23
19-22
20-21
21-21
21-22
22-22
* Если ординаты c не равны и c > c1, то формула будет
Приводимые формулы и таблицы
могут быть использованы для предварительных расчетов рам, когда не учитывается
переменность сечений ригеля (вуты) и влияние жестких участков стоек.
В табл. 174 даны формулы и
показаны эпюры изгибающих моментов для различных часто встречающихся случаев
загружения однопролетных рам с горизонтальным ригелем.
Таблица 174
Формулы для расчета однопролетных рам
Схема рамы, нагрузки и
эпюры изгибающих моментов
Распор
Моменты
Вертикальные опорные
реакции
MA = MD =
0;
Моменты в сечении ригеля на
расстоянии x от B:
Опасное сечение при x =
l/2:
Моменты в сечении ригеля на
расстоянии x от B:
Наибольший момент в
середине пролета ригеля:
приa = b
MA = MD =
0;
Момент в сечении на
расстоянии x от B или x1
от C:
на участке a:
на участке b:
Наибольший изгибающий
момент под грузом P
при x = a:
приa = b = l/2:
MB = MA - HAh;
MC = MD - HAh.
Изгибающий момент под
грузом P:
Ma = MA - HAh
+ VAa.
Момент в сечении стойки AB
на расстоянии x от A:
Опасное сечение:
Момент в ригеле равен 0
MC = MD - Hh.
Момент в сечении стойки AB
на расстоянии x от A:
Момент в сечении стойки AB
на расстоянии x от A:
Момент в ригеле равен нулю
при
MC = MD - Hh.
Момент в сечении стойки AB
на расстоянии x от A:
Момент в сечении стойки на
расстоянии x от A или соответственно D:
Момент в сечении ригеля
Момент в сечении на
расстоянии x от A или соответственно D:
Mx = ±Hx.
Момент в ригеле равен нулю
при
где α – коэффициент линейного
расширения;
E - модуль упругости;
t° - повышение температуры
Линия влияния H
участок BC:
участок CE:
В таблицах 175 - 177
приведены данные для определения площадей линий влияния изгибающих моментов в
двух- и трехпролетных рамах с жесткой заделкой стоек1. Поперечные
силы в ригелях таких рам приближенно могут быть определены, рассматривая ригель
как неразрезную балку.
Площади линий влиянии изгибающих моментом для сечений двухпролетной
рамы с концевыми стойками
Схема рамы и вид линий
влияния
k
ω1:l2
ω2:l2
ω3:l2
∑ω:l2
2
0,07344
-0,01788
-
0,05556
4
0,08100
-0,02277
-
0,05823
6
0,08453
-0,02500
-
0,05958
8
0,08634
-0,02615
-
0,06019
10
0,08763
-0,02702
-
0,06061
2
0,013242
-0,001525
0,002204
0,013921
4
0,008083
-0,000946
0,001183
0,003320
6
0,005820
-0,006697
0,000817
0,005910
8
0,004550
-0,000534
0,000610
0,004626
10
0,003733
-0,000442
0,000481
0,003680
2
0,03100
-0,03100
-
0
4
0,01942
-0,01942
-
0
6
0,01413
-0,01413
-
0
8
0,01112
-0,01112
-
0
10
0,00917
-0,00917
-
0
2
-0,03231
0,00492
-0,00043
-0,02782
4
-0,01991
0,00339
-0,00018
-0,01670
6
-0,01440
0,00252
-0,00012
-0,01200
8
-0,01210
0,00207
-0,00007
-0,01010
10
-0,00926
0,00170
-0,00006
-0,00762
2
-0,07095
-0,01017
-
-0,11112
4
-0,06817
-0,04845
-
-0,11662
6
-0,06653
-0,05251
-
-0,11904
8
-0,06605
-0,05432
-
-0,12037
10
-0,06547
-0,05573
-
-0,12120
2
-0,01812
0,01842
-
0
4
-0,01158
0,01158
-
0
6
-0,00846
0,00846
-
0
8
-0,00664
0,00664
-
0
10
-0,00548
0,00548
-
0
Таблица 176
Площади линии влияния изгибающих моментов для сечений трехпролетной
рамы с подвижными опорами на концах
Схема рамы и вид линий
влияния
k
ω1:l2
ω2:l12
ω3:l2
2
-0,00595
0,01190
-0,01190
4
-0,00352
0,00694
-0,00690
6
-0,00254
0,00490
-0,00481
8
-0,00199
0,00379
-0,00369
10
-0,00163
0,00309
-0,00300
2
0,02083
-0,02380
0,01487
4
0,01211
-0,01388
0,00837
6
0,00849
-0,00980
0,00622
8
0,00657
-0,00758
0,00479
10
0,00532
-0,00618
0,00394
2
-0,0804
-0,03571
0,0089
4
-0,0734
-0,04167
0,0109
6
-0,0714
-0,04412
0,0126
8
-0,0700
-0,04545
0,0132
10
-0,0697
-0,04629
0,0141
2
-0,05957
-0,05951
0,02377
4
-0,06192
-0,05556
0,01927
6
-0,06291
-0,05392
0,01882
8
-0,06343
-0,05303
0,01799
10
-0,06438
-0,05247
0,01804
2
0,08480
-0,01785
0,00445
4
0,08830
-0,02083
0,00545
6
0,08928
-0,02206
0,00630
8
0,08998
-0,02273
0,00660
10
0,09017
-0,02315
0,00705
2
-0,01790
0,06549
-0,01790
4
-0,02101
0,06945
-0,02101
6
-0,02205
0,07080
-0,02205
8
-0,02272
0,07197
-0,02272
10
-0,02317
0,07253
-0,02317
Таблица 177
Площади линий влияний изгибающих моментов для сечений трехпролетной
рамы с концевьми стойками
Схема рамы и вид линии
влияния
k
ω1:l2
ω2:l12
ω3:l2
ω4:l2
2
0,01527
-0,00379
0,00370
-0,00003
4
0,00952
-0,00269
0,00258
-0,00001
6
0,00692
-0,00205
0,00196
0
8
0,00543
-0,00165
0,00158
0
10
0,00448
-0,00138
0,00132
0
2
-0,03379
0,00757
-0,00409
-
4
-0,02106
0,00538
-0,00314
-
6
-0,01529
0,00410
-0,00247
-
8
-0,01201
0,00330
-0,00202
-
10
-0,00988
0,00276
-0,00171
-
2
0,07248
-0,01515
0,00328
-
4
0,07974
-0,01882
0,00493
-
6
0,08301
-0,02049
0,00578
-
8
0,08487
-0,02145
0,00630
-
10
0,08606
-0,02208
0,00665
-
2
-0,07125
-0,03788
0,01065
-
4
-0,06946
-0,04301
0,01300
-
6
-0,06868
-0,04508
0,01402
-
8
-0,06825
-0,04620
0,01462
-
10
-0,06799
-0,04691
0,01501
-
2
-0,01555
0,01136
-0,00131
0,00171
4
-0,009510
0,00672
-0,00079
0,000890
6
-0,006870
0,00478
-0,00056
0,00060
8
-0,00537
0,00371
-0,00044
0,00045
10
-0,00441
0,00304
-0,00037
0,00036
2
0,02783
-0,02273
0,00316
-0,00069
4
0,01702
-0,01344
0,00205
-0,00026
6
0,01228
-0,00950
0,00158
-0,00019
8
0,00960
-0,00743
0,00125
-0,00012
10
0,00788
-0,00607
0,00102
-0,00007
2
-0,04342
-0,06060
0,01312
-
4
-0,05243
-0,05645
0,01479
-
6
-0,05640
-0,05464
0,01511
-
8
-0,05865
-0,05363
0,01575
-
10
-0,06011
-0,05298
0,01596
-
2
-0,01392
0,10985
-0,01392
-
4
-0,01869
0,09543
-0,01869
-
6
-0,01980
0,08948
-0,01980
-
8
-0,02090
0,08622
-0,02090
-
10
-0,02163
0,08416
-0,02163
-
Приближенно
усилия от температуры и тормозной силы в двухпролетной раме с концевыми
стойками могут быть определены по нижеследующим формулам (рис. 47).
Рис. 47. Эпюры моментов в двухпролетной раме: а - от температуры; б - от тормозной силы
Усилия от температуры:
где α - коэффициент линейного
удлинения;
t - изменение
температуры.
Усилия от тормозной силы:
Приближенно усилия от
температуры и тормозной силы в трехпролетной раме с, концевыми стойками могут
быть определены по нижеследующим формулам (рис. 48).
Рис. 48. Эпюры моментов в трехпролетной раме:
а - от температуры; б - от тормозной силы
В данной главе приведены формулы и некоторые указания для определения
усилии в арках и сводах, а также данные для построения оси арок и назначения ряда
геометрических характеристик их.
Приводимые данные могут быть использованы при эскизном проектировании
арочных мостов.
Для более точного и окончательного расчета арок применяют аналитические
методы строительной механики, а также используют существующие ускоренные
способы расчета сводов с помощью таблиц, разработанных различными авторами,
например: способ Штрасснера с поправками и дополнениями К.С. Завриева, способ
П.С. Морозова, способ Маннинга и др.
Для расчета арок с затяжкой с вертикальными, а также наклонными
подвесками удобно пользоваться методами расчета этих систем, изложенными в
книге А.Я. Аствацатурова («Расчет мостовых арок с вертикальными наклонными
подвесками». Дориздат, 1952).
в) по катеноиду Легея-Штрасснера (очерчанне оси арки по кривой давления
от постоянной нагрузки)
Величина y'представляет ординату оси свода, отсчитываемой от касательной в
замке (см. рис. 50).
gпи
gк - значения интенсивностей постоянной нагрузки
(на 1 пог. м арки в пяте и
ключе, рис. 51).
Для сплошного надсводного строения (рис. 52):
gк = γdк + γ1hк; gп = γcп + γ1hп,
где γ - объемный вес
материала свода;
γ1 - объемный вес материала надсводного
строения.
В случае сквозного надсводного
строения условно принимают:
(см. рис. 51),
Рис. 51. Схема арки со сквозным надарочным
строением
где p1 - вес 1 пог. м надсводного
строения без стоек;
P- вес стойки в пяте;
λ - расстояние между стойками.
Величины ординат оси y'- приведены в табл.
178.
Рис. 52. Схема для определения постоянной нагрузки и пяте
Ось арок стальных мостов обычно
очерчивается по одной из простых кривых: по квадратной параболе (подъемистые
арки) или по кругу (пологие арки), простота геометрии которых обеспечивает
большую простоту разметки и изготовления арки.
Ось арок железобетонных и в
особенности каменных мостов, требующих более строгого соблюдения условия
совпадения ее с линией давления от постоянной нагрузки, обычно принимается по
катеноиду Легея.
Таблица 178
Ординаты оси свода y'по уравнению катеноида при f = 1 (табличные значения необходимо множить на f)
Значения ординат y'в сечениях
0
пята
1
2
3
4
5
6
четверть
7
8
9
10
11
12
замок
1,000
1,000
0,8403
0,6944
0,5625
0,4444
0,3403
0,2500
0,1736
0,1111
0,0625
0,0278
0,0070
0
1,347
1,000
0,8331
0,6831
0,5493
0,4312
0,3284
0,2400
0,1660
0,1059
0,0594
0,0264
0,0066
0
1,756
1,000
0,8256
0,6714
0,5359
0,4179
0,3163
0,2300
0,1584
0,1007
0,0563
0,0249
0,0062
0
2,240
1,000
0,8180
0,6595
0,5223
0,4044
0,3042
0,2200
0,1508
0,0955
0,0532
0,0235
0,0059
0
2,814
1,000
0,8101
0,6473
0,5085
0,3908
0,2920
0,2100
0,1432
0,0903
0,0502
0,0221
0,0055
0
3,500
1,000
0,8019
0,6348
0,4944
0,3771
0,2798
0,2000
0,1357
0,0852
0,0472
0,0208
0,0052
0
4,324
1,000
0,7935
0,6221
0,4801
0,3632
0,2675
0,1900
0,1282
0,0802
0,0443
0,0194
0,0048
0
5,321
1,000
0,7849
0,6090
0,4656
0,3491
0,2552
0,1800
0,1208
0,0751
0,0413
0,0181
0,0045
0
6,536
1,000
0,7758
0,5955
0,4507
0,3349
0,2428
0,1700
0,1133
0,0701
0,0384
0,0168
0,0041
0
8,031
1,000
0,7664
0,5816
0,4356
0,3205
0,2303
0,1600
0,1060
0,0652
0,0356
0,0155
0,0038
0
9,889
1,000
0,7567
0,5673
0.4200
0,3059
0,2177
0,1500
0,0986
0,0603
0,0327
0,0142
0,0035
0
Примечание. Значения mв таблице подобраны так, что величины у' для
четверти пролета изменяются в пределах от 0,15 до 0,25 через 0.01. При значении
m = 1
катеноид превращается в параболу.
Рис. 53. Схема к построению параболической оси
арки по табл. 179
В бесшарнирных арках момент инерции сечении обычно убывает от пят к
замку. Изменение сечений по длине пролета для массивных мостов рекомендуется
принимать по закону Штрасснера:
Iк
и Ix
- момент инерции сечения соответственно в ключе и в сечении с абсциссой ;
n-
параметр, характеризующий изменение сечения;
φx
- угол наклона сечения с абсциссой x'.
При ξ = 1 (сечение в пяте):
где Iп - моментинерции сечения в пяте;
φп
- угол наклона пятового сечения.
При n = 1 закон Штрасснера переходит в более простой закон косинуса;
Коэффициент nв формуле Штрасснера для автодорожных и городских мостов в
зависимости от соотношения постоянной и временной нагрузок принимается:
для железобетонных арок равным 0,3;
для бетонных и каменных сводов равным 0,40 - 0,60.
Закон изменения сечений по формуле Штрасснера наиболее часто применяется
для прямоугольных сечений постоянной ширины. Однако его возможно применить и
для других сечений, если их размеры подчинить некоторым соотношениям. В табл.
180 приведены формулы основных размеров сечений трех типов - сплошные
прямоугольные, коробчатые и двутавровые - при постоянной и переменной ширине,
удовлетворяющих формуле Штрасснера.
Таблица 180
Формулы размеров сечений, удовлетворяющих закону Штрасснера 1
При изменении ширины по
квадратной или кубической параболе r = 2 или 3.
Вычисление величин tg2φх и
cможет быть произведено с помощью таблиц 181 и 182, составленных в
зависимости от параметров mи n.
Таблица 181
Величины
Параметр m
Значения для сечений
0 (пята)
1
2
3
4
5
6 (четверть)
7
8
9
10
11
12 (ключ)
y11/4l
1,000
16,000
13,444
11,111
9,000
7,111
5,444
4,000
2,778
1,778
1,000
0,444
0,111
0
0,25
1,347
17,780
14,447
11,576
9,117
7,023
5,258
3,788
2,588
1,633
0,910
0,401
0,100
0
0,24
1,756
19,722
15,504
12,074
9,224
6,926
5,067
3,578
2,402
1,495
0,823
0,360
0,089
0
0,23
2,240
21,841
16,620
12,526
9,322
6,820
4,874
3,371
2,223
1,363
0,741
0,322
0,079
0
0,22
2,814
24,150
17,796
13,010
9,409
6,704
4,677
3,166
2,049
1,237
0,665
0,286
0,070
0
0,21
3,500
26,676
19,038
13,499
9,485
6,578
4,477
2,964
1,882
1,118
0,593
0,253
0,062
0
0,20
4,324
29,441
20,351
13,993
9,548
6,442
4,274
2,765
1,720
1,004
0,525
0,222
0,054
0
0,19
5,321
32,476
21,741
14,490
9,597
6,294
4,068
2,569
1,564
0,898
0,462
0,193
0,046
0
0,18
6,536
35,812
23,208
14,988
9,629
6,134
3,858
2,376
1,415
0,796
0,404
0,167
0,040
0
0,17
8,031
39,494
24,765
15,487
9,643
5,962
3,644
2,187
1,272
0,701
0,350
0,143
0,034
0
0,16
9,889
43,572
26,420
15,985
9,637
5,776
3,428
2,001
1,143
0,612
0,300
0,121
0,028
0
0,15
Таблица 182
Величины коэффициента c
Параметр n
Значения c
для сечений
0
(пята)
1
2
3
4
5
6 (четверть)
7
8
9
10
11
12 (ключ)
1
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,8
1,077
1,070
1,063
1,056
1,049
1,042
1,036
1,029
1,023
1,017
1,011
1,006
1,000
0,6
1,186
1,164
1,145
1,126
1,109
1,093
1,077
1,063
1,049
1,036
1,023
1,011
1,000
0,5
1,260
1,227
1,197
1,170
1,145
1,122
1,101
1,081
1,063
1,046
1,029
1,014
1,000
0,4
1,357
1,305
1,260
1,221
1,186
1,154
1,126
1,101
1,077
1,056
1,036
1,017
1,000
0,3
1,494
1,408
1,339
1,282
1,233
1,191
1,154
1,122
1,093
1,066
1,042
1,020
1,000
0,25
1,587
1,474
1,387
1,317
1,260
1,211
1,170
1,133
1,101
1,072
1,046
1,022
1,000
0,20
1,710
1,554
1,442
1,357
1,289
1,233
1,186
1,145
1,109
1,077
1,049
1,023
1,000
0,15
1,882
1,655
1,508
1,403
1,322
1,256
1,203
1,157
1,117
1,083
1,052
1,025
1,000
Примечание.При отсутствии в табл. 181
подходящего значения mвеличину
tgφх можно вычислить по уравнению
Двухшарнирные арки
Закон изменения поперечных
сечений двухшарнирных массивных арок может быть принят по формуле:
Iх
= Iкcosφх
или по формуле инж. Шало:
где
Iк, Iп и Ix -
моменты инерции соответственно в ключе, пяте и в сечении с абсциссой х'.
Высота
сечений по Шало определяется формулой:
Для автодорожных и городских
мостов можно принять значение
Трехшарнирные арки
Высогы сечения в ключе hк в пятах hп и в четверти
пролета h1/4lназначают при выборе основных размеров.
Если высоты сечения убывают от
четверти пролета к ключу и пятам (что соответствует эпюре наибольших моментов),
то изменение высот сечений по длине пролета может быть принято по
параболическому закону:
Все приводимые ниже таблицы и формулы предназначены для использования их
при составлении проектного задания, когда обычно удовлетворяются расчетом трех
сечений полуарки: пяты, четверти пролета и ключа.
Определение усилий по таблицам Штрасснера
В этом случае очертание оси арки принимается по катеноиду и закон
изменения сечений по формуле Штрасснера.
Основной распор от постоянной нагрузки без учета упругого обжатия:
где kg- коэффициент по табл. 183;
l и f - пролет и стрелка, м;
gк - интенсивность
нагрузки в ключе, т/пог.м.
Вертикальная опорная реакция:
V = kvgкl,
где kv- коэффициент по табл. 183.
Таблица 183
Величины коэффициентов kg и kvдля вычисления опорных
реакций от постоянной нагрузки без учета обжатия
m
1,000
1,347
1,756
2,240
2,814
3,500
4,324
5,321
6,536
8,031
9,889
kg
1250
1320
1397
1483
1579
1687
1808
1946
2104
2287
2499
kv
0,5000
0,5660
0,6206
0,6933
0,7761
0,8713
0,9812
1,1092
1,2593
1,4370
1,6496
Дополнительный распор от упругого обжатия,
приложенный в упругом центре (по формуле Штрасснера и К.С. Завриева):
где
- радиус
инерции сечения арки в ключе.
Для прямоугольного сечения формула для μ1 принимает вид:
Значения коэффициентов и ν1 приведены с таблицах 184 и 185. Дополнительный
распор ∆Hg
приложен в упругом центре на расстоянии yкот центра ключа и имеет направление,
указанное на рис. 54. Значение yк
определяется по табл. 186.
Рис. 54. Схема к определению распора от упругого обжатия
Таблица 184
Величины
коэффициента
Параметр m
Значении при параметре n,
равном
1,00
0,80
0,60
0,50
0,40
0,30
0,25
0,20
0,15
1,000
0,0889
0,0775
0,0653
0,0588
0,0520
0,0448
0,0410
0,0370
0,0329
1,347
0,0875
0,0761
0,0640
0,0577
0,0509
0,0437
0,0400
0,0361
0,0320
1,756
0,0363
0,0750
0,0629
0,0566
0,0498
0,0428
0,0390
0,0352
0,0312
2,240
0,0847
0,0736
0,0616
0,0553
0,0486
0,0417
0,0380
0,0342
0,0302
2,814
0,0834
0,0722
0,0604
0,0541
0,0475
0,0407
0,0370
0,0332
0,0294
3,500
0,0821
0,0710
0,0593
0,0530
0,0466
0,0396
0,0361
0,0323
0,0285
4,324
0,0807
0,0697
0,0581
0,0519
0,0455
0,0386
0,0351
0,0314
0,0276
5,321
0,0793
0,0684
0,0568
0,0507
0,0443
0,0376
0,0341
0,0305
0,0267
6,536
0,0779
0,0671
0,0556
0,0496
0,0432
0,0366
0,0331
0,0295
0,0258
8,031
0,0766
0,0658
0,0544
0,0434
0,0422
0,0356
0,0322
0,0286
0,0250
9,889
0,0750
0,0644
0,0532
0,0472
0,0411
0,0346
0,0312
0,0277
0,0241
Таблица 185
Значения коэффициента v1по К.С. Завриеву (к расчету дополнительного распора от упругого
обжатии свода нормальными силами от постоянной нагрузки)
n
1,0
0,8
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
Значения v1
1
3
0,87
0,90
0,94
0,97
0,99
1,02
1,05
1
4
0,91
0,95
0,99
1,01
1,04
1,03
1,12
1
5
0,94
0,98
1,02
1,04
1,07
1,11
1,15
1
6
0,96
1,00
1,04
1,06
1,09
1,13
1,17
1
8
0,97
1,01
1,05
1,08
1,11
1,14
1,18
1
10
0,98
1,02
1,06
1,09
1,12
1,15
1,19
Таблица 186
Значения
Параметр m
Величина при параметре n,
равном
1,00
0,80
0,60
0,50
0,40
0,30
0,25
0,20
0,15
1,000
0,3333
0,3148
0,2917
0,2778
0,2619
0,2436
0,2333
0,2222
0,2101
1,347
0,3262
0,3079
0,2850
0,2713
0,2556
0,2374
0,2273
0,2163
0,2044
1,756
0,3190
0,3009
0,2783
0,2647
0,2491
0,2312
0,2212
0,2103
0,1985
2,240
0,3117
0,2938
0,2714
0,2580
0,2427
0,2250
0,2150
0,2043
0,1926
2,814
0,3044
0,2867
0,2646
0,2513
0,2362
0,2187
0,2089
0,1983
0,1867
3,500
0,2970
0,2795
0,2577
0,2446
0,2296
0,2124
0,2027
0,1922
0,1808
4,324
0,2895
0,2723
0,2507
0,2378
0,2230
0,2060
0,1964
0,1861
0,1748
5,321
0,2820
0,2650
0,2437
0,2309
0,2164
0,1996
0,1901
0,1799
0,1688
6,536
0,2743
0,2576
0,2366
0,2240
0,2097
0,1931
0,1838
0,1738
0,1628
8,031
0,2666
0,2501
0,2294
0,2170
0,2029
0,1865
0,1774
0,1675
0,1567
9,889
0,2587
0,2424
0,2221
0,2099
0,1960
0,1799
0,1709
0,1612
0,1506
Дальнейшая последовательность расчета приведена в таблицах
187, 188 и 193.
Таблица 187
Последовательность расчета на постоянную нагрузку
№ п/п
Элементы расчета
Расчетные сечения
Примечание
пята
четверть
ключ
1
cosφ
2
Нормальная сила без учета
упругого обжатия:
Hgи Ng- для
всех сечений положительны
3
Дополнительная нормальная
сила от упругого обжатия:
∆Ng= ∆Hgcosφ
∆Hgи
∆Ng - для всех сечений
отрицательны
4
Полная нормальная сила:
Ng + ∆Ng
Суммируются пп. 2 и 3 с
учетом знаков
5
Ординаты y', считая от оси, проходящей через центр замкового
сечении (см. рис. 51)
6
Ординаты y,
считая от оси,
проходящей через упругий центр:
y = yк - y'
(см. рис. 54)
Знаки y:
в пяте -; в
ключе +; в четверти + или -
7
Изгибающий момент от
упругого обжатия:
∆Mg = -∆Hgy
∆Hgи yподставляются
в формулу со своими знаками
8
Площадь сечения
F
9
Момент сопротивления
W
10
Напряжения от сжатия:
Из пп. 4 и 8
11
Напряжения от изгиба в
верхнем волокне:
∆Mg из п. 7 со своим знаком
12
Напряжения от изгиба в
нижнем волокне:
∆Mgиз п.
7 со своим знаком
13
Напряжения в верхнем
волокне:
Суммируются пп. 10 и 11 с
учетом знаков
14
Напряжения в нижнем
волокне:
Суммируются пп. 10 и 12 с
учетом знаков
Таблица 188
Последовательность расчета на температурные воздействия
№ п/п
Элементы расчета
Расчетные сечения
Примечание
пята
четверть
ключ
I.
Понижение температуры
1
cosφ
2
Нормальная сила:
Nt = Ht(-)cosφ
(-)
(-)
(-)
3
Ординаты y
м
Из п. 6 табл. 187
4
Изгибающий момент:
Mt
= -Ht(-)y
Ht(-) и yподставляются в формулу со своими знаками
5
Площадь сечения
F
Из п. 8 табл. 187
6
Момент сопротивления
W
7
Напряжения от нормальной
силы:
Из пп. 2 и 5 Nt подставляется со своим знаком
8
Напряжении от изгиба и
верхнем волокне
Mt из п. 4 со своими знаками
9
Напряжение от изгиба в
нижнем волокне:
То же
10
Расчетные напряжения в
верхнем волокне:
Суммируются пп. 7 и 8 со своими
знаками
11
Расчетные напряжения в
нижнем волокне:
Суммируются пп. 7 и 9 с
учетом знаков
II.
Повышение температуры
12
Расчетные напряжения в
верхнем волокне:
σв
Получается умножением
данных п. 10 настоящей таблицы с учетом знаков на коэффициент, равный
13
То же, в нижнем волокне:
σн
Получается умножением
строки 11 на тот же коэффициент, равный k
Распор от температуры определяется по формуле:
- при
повышении температуры на +t°;
- при
понижении температуры на -t°.
где E- модуль упругости материала свода.
Расчетные колебания температуры отсчитывают от температуры замыкания.
Дли этого, пользуясь картами июльских и январских изотерм (см. рисунки 112 - 114),
определяют температуру оси свода:
Tоси
в июле - наивысшая;
Tоси в январе - наинизшая.
Температуру замыкания свода Tзам принимают в зависимости от климата местности
в пределах от +5° до +15°.
При этих обозначениях расчетные колебания температуры будут
определяться:
Расчетное повышение температуры:
tпов = Tоси виюле - Tзам.
Расчетное понижение температуры:
tпов = Tоси в январе
- Tзам.
Кроме того, учитывается условное добавочное понижение температуры за
счет влияния усадки материала по ТУ.
Распор от температуры Ht
приложен в упругом центре (рис. 55).
Рис. 55. Схема к определению усилии от температуры
Последовательность расчета на температурные воздействия приведена в
табл. 188.
При определении усилии от временной нагрузки можно пользоваться
эквивалентными нагрузками, используя линии влияния (рис. 56), площади которых
определяются по табл. 189; длины отдельных участков загружения λ1и λ2 принимаются
по табл. 190.
Рис. 56. Линии влияния усилии и бесшарнирной
арке
Таблица 189
Значения коэффициента α для вычисления площадей линий
влиянии моментов, распора и поперечных сил
Сечение
Усилие
Величины коэффициентов αпри параметре n,
равном
1,00
0,80
0,60
0,50
0,40
0,30
0,25
0,20
0,15
m =
1,00
Замок
Макс. M
+0,0054
-0,0052
+0,0049
+0,0047
+0,0046
+0,0044
-0,0043
+0,0041
+0,0040
Соотв. H1
+0,060
+0,059
+0,059
+0,059
+0,059
+0,059
-0,059
+0,059
+0,059
Мин. M
-0,0027×2
-0,0026×2
-0,0024×2
-0,0024×2
-0,0023×2
-0,0022×2
-0,0022×2
-0,0020×2
-0,0020×2
Соотв. H2
+0,033×2
+0,033×2
+0,033×2
+0,033×2
+0,033×2
+0,033×2
+0,033×2
+0,033×2
+0,033×2
Четверть
Макс. M
+0,0090
+0,0088
+0,0085
+0,0083
+0,0080
+0,0076
+0,0074
+0,0071
+0,0068
Соотв. H1
+0,040
+0,039
+0,038
+0,037
+0,036
+0,035
+0,034
+0,033
+0,081
Соотв. Q1
-
+0,0975
+0,096
+0,0945
+0,093
+0,0915
+0,090
+0,0885
+0,087
Мин. M
-0,0090
-0,0088
-0,0085
-0,0083
-0,0080
-0,0076
-0,0074
-0,0071
-0,0068
Соотв. H2
+0,085
+0,086
+0,087
+0,088
+0,089
+0,090
-0,091
+0,092
+0,094
Соотв. Q2
-
+0,1525
+0,154
+0,1555
+0,157
+0,1585
+0,160
+0,1675
+0,163
Пята
Макс. M
+0,0171
+0,0177
+0,0186
+0,0192
+0,0200
+0,0211
+0,0217
+0,0226
+0,0236
Соотв. H1
+0,085
+0,086
+0,086
+0,086
+0,086
+0,086
+0,087
+0,087
+0,087
Соотв. Q1
-
+0,150
+0,149
+0,1475
+0,146
+0,145
+0,144
+0,143
+0,142
Мин. M
-0,0171
-0,0177
-0,0186
-0,0192
-0,0200
-0,0211
-0,0217
-0,0226
-0,0236
Соотв. H2
+ 0,040
+0,039
+0,039
+0,039
+0,039
+0,039
+0,038
+0,038
+0,038
Соотв. Q2
-
+0,350
+0,351
+0,3525
+0,354
+0,355
+0,356
+0,357
+0,358
m =
2,24
Замок
Макс. M
+0,0065
+0,0062
+0,0059
+0,0056
+0,0054
+0,0052
+0,0050
+0,0049
+0,0047
Соотв. H1
+0,067
+0,067
+0,067
+0,067
+0,067
+0,067
+0,067
+0,067
+0,067
Мин. M
-0,0022×2
-0,0022×2
-0,0022×2
-0,0020×2
-0,0020×2
-0,0019×2
-0,0019×2
-0,0019×2
-0,0018×2
Соотв. H2
+0,030×2
+0,030×2
+0,030×2
+0,030×2
+0,030×2
+0,030×2
+0,030×2
+0,030×2
+0,030×2
Четверть
Макс. M
+0,0086
+0,0084
+0,0081
+0,0079
+0,0076
+0,0073
+0,0070
+0,0068
+0,0064
Соотв. H1
+0,039
+0,038
+0,038
+0,036
+0,035
+0,034
+0,033
+0,032
+0,031
Соотв. Q1
-
+0,0915
+0,090
+0,0885
+0,087
+0,0855
+0,084
+0,0825
+0,081
Мин. M
-0,0099
-0,0098
-0,0095
-0,0093
-0,0090
-0,0087
-0,0084
-0,0082
-0,0077
Соотв. H2
+0,089
+0,090
+0,091
+0,093
+0,094
+0,095
+0,097
+0,098
+0,099
Соотв. Q2
-
+0,1585
+0,160
+0,1615
+0,163
+0,1645
+0,166
+0,1675
+0,169
Пята
Макс. M
-0,0204
+0,0209
+0,0220
+0,0228
+0,0237
+0,0249
+0,0260
+0,0269
+0,0281
Соотв. H1
+0,091
-0,092
+0,092
+0,093
+0,093
+0,093
-0,094
+0,094
+0,095
Соотв. Q1
-
-0,1640
+0,1625
+0,161
+0,160
+0,159
+0,1575
+0,156
+0,155
Мин. M
-0,0156
-0,0161
-0,0170
-0,0175
-0,0182
-0,0192
-0,0198
-0,0205
-0,0214
Соотв. H2
+0,037
+0,036
+0,036
+0,036
+0,036
+0,036
+0,036
+0,036
+0,036
Соотв. Q2
-
+0,336
+0,3375
+0,339
+0,340
+0,341
+0,3425
+0,344
+0,345
m =
3,500
Замок
Макс. M
+0,0073
+0,0069
+0,0065
+0,0063
+0,0060
+0,0057
+0,0055
+0,0053
+0,0051
Соотв. H1
+0,072
+0,072
+0,072
+0,072
+0,072
+0,072
+0,072
+0,072
+0,073
Мин. M
-0,0021×2
-0,0020×2
-0,0020×2
-0,0019×2
-0,0018×2
-0,0018×2
-0,0018×2
-0,0017×2
-0,0016×2
Соотв. H2
+0,029×2
+0,029×2
+0,029×2
+0,030×2
+0,030×2
+0,030×2
+0,030×2
+0,030×2
+0,030×2
Четверть
Макс. M
+0,0083
+0,0081
+0,0078
+0,0076
+0,0073
+0,0070
+0,0068
+0,0065
+0,0062
Соотв. H1
+0,039
+0,038
+0,038
+0,036
+0,035
+0,034
+0,033
+0,032
+0,031
Соотв. Q1
-
+0,088
+0,0865
+0,084
+0,086
+0,083
+0,0815
+0,080
+0,079
Мин. M
-0,0104
-0,0103
-0,0101
-0,0099
-0,0097
-0,0094
-0,0092
-0,0089
-0,0085
Соотв. H2
+0,090
+0,092
+0,093
+0,095
+0,096
+0,098
+0,099
+0,101
+0,103
Соотв. Q2
-
+0,162
+0,1635
+0,165
+0,166
+0,167
+0,1685
+0,170
+0,171
Пята
Макс. M
-0,0224
+0,0231
+0,0245
+0,0253
+0,0263
+0,0279
+0,0283
+0,0300
+0,0313
Соотв. H1
+0,094
-0,095
+0,095
+0,096
+0,096
+0,097
-0,097
+0,098
+0,100
Соотв. Q1
-
-0,170
+0,169
+0,168
+0,167
+0,166
+0,165
+0,164
+0,163
Мин. M
-0,0145
-0,0150
-0,0159
-0,0164
-0,0170
-0,0180
-0,0186
-0,0192
-0,0201
Соотв. H2
+0,035
+0,035
+0,035
+0,035
+0,035
+0,035
+0,035
+0,034
+0,034
Соотв. Q2
-
+0,300
+0,31
+0,32
+0,33
+0,34
+0,35
+0,36
+0,37
m =
5,321
Замок
Макс. M
+0,0082
+0,0079
+0,0074
+0,0071
+0,0068
+0,0065
+0,0063
+0,0060
+0,0058
Соотв. H1
+0,078
+0,078
+0,078
+0,078
+0,078
+0,078
+0,079
+0,079
+0,079
Мин. M
-0,0018×2
-0,0018×2
-0,0018×2
-0,0016×2
-0,0016×2
-0,0015×2
-0,0015×2
-0,0014×2
-0,0014×2
Соотв. H2
+0,027×2
+0,027×2
+0,028×2
+0,028×2
+0,028×2
+0,029×2
+0,029×2
+0,029×2
+0,030×2
Четверть
Макс. M
+0,0081
+0,0079
+0,0076
+0,0074
+0,0071
+0,0067
+0,0065
+0,0063
+0,0059
Соотв. H1
+0,039
+0,038
+0,037
+0,036
+0,035
+0,034
+0,033
+0,032
+0,031
Соотв. Q1
-
+0,084
+0,0825
+0,081
+0,080
+0,079
+0,0775
+0,076
+0,075
Мин. M
-0,0110
-0,0110
-0,0108
-0,0107
-0,0105
-0,0101
-0,0099
-0,0097
-0,0093
Соотв. H2
+0,093
+0,094
+0,096
+0,098
+0,100
+0,101
+0,103
+0,105
+0,107
Соотв. Q2
-
+0,166
+0,1675
+0,169
+0,170
+0,171
+0,1725
+0,174
+0,175
Пята
Макс. M
+0,0248
+0,0256
+0,0270
+0,0279
+0,0293
+0,0307
+0,0319
+0,0333
+0,0349
Соотв. H1
+0,099
+0,099
+0,100
+0,101
+0,102
+0,103
+0,103
+0,104
+0,105
Соотв. Q1
-
+0,177
+0,176
+0,175
+0,174
+0,173
+0,172
+0,171
+0,170
Мин. M
-0,0135
-0,0140
-0,0148
-0,0153
-0,0159
-0,0167
-0,0173
-0,0179
-0,0187
Соотв. H2
+0,033
+0,033
+0,033
+0,033
+0,033
+0,033
+0,033
+0,033
+0,033
Соотв. Q2
-
+0,323
+0,324
+0,325
+0,326
+0,327
+0,328
+0,329
+0,330
m = 8,031
Замок
Макс. M
+0,0093
+0,0089
+0,0083
+0,0080
+0,0075
+0,0072
+0,0070
+0,0067
+0,0065
Соотв. H1
+0,085
+0,085
+0,085
+0,085
+0,086
+0,086
+0,086
+0,086
+0,086
Мин. M
-0,0016×2
-0,0016×2
-0,0014×2
-0,0014×2
-0,0014×2
-0,0013×2
-0,0012×2
-0,0012×2
-0,0012×2
Соотв. H2
+0,024×2
+0,025×2
+0,026×2
+0,026×2
+0,026×2
+0,026×2
+0,027×2
+0,028×2
+0,028×2
Четверть
Макс. M
+0,0078
+0,0076
+0,0073
+0,0071
+0,0068
+0,0065
+0,0063
+0,0060
+0,0057
Соотв. H1
+0,039
+0,039
+0,038
+0,036
+0,035
+0,034
+0,034
+0,033
+0,032
Соотв. Q1
-
+0,0835
+0,082
+0,0805
+0,079
+0,0775
+0,076
+0,0745
+0,073
Мин. M
-0,0115
-0,0115
-0,0114
-0,0113
-0,0111
-0,0109
-0,0107
-0,0104
-0,0101
Соотв. H2
+0,095
+0,096
+0,098
+0,101
+0,103
+0,105
+0,106
+0,108
+0,110
Соотв. Q2
-
+0,1665
+0,168
+0,1695
+0,171
+0,1725
+0,174
+0,1755
+0,177
Пята
Макс. M
+0,0271
+0,0282
+0,0295
+0,0307
+0,0319
+0,0338
+0,0352
+0,0367
+0,0386
Соотв. H1
+0,101
+0,102
+0,103
+0,104
+0,105
+0,106
+0,108
+0,109
+0,110
Соотв. Q1
-
+0,185
+0,184
+0,183
+0,1815
+0,180
+0,179
+0,178
+0,177
Мин. M
-0,0126
-0,0131
-0,0137
-0,0142
-0,0148
-0,0155
-0,0160
-0,0166
-0,0173
Соотв. H2
+0,032
+0,032
+0,032
+0,032
+0,032
+0,032
+0,032
+0,032
+0,032
Соотв. Q2
-
+0,315
+0,316
+0,316
+0,318
+0,320
+0,321
+0,321
+0,323
Таблица 190
Значения длин затруднении λ1 и λ2 (к рис. 56)
m
Пята
Замок
Четверть
λ1
λ2
λ1
λ2
λ1
λ2
1,000
0,40
0,60
0,25
0,375
0,38
0,62
1,347
0,40
0,60
0,26
0,370
0,38
0,62
2,240
0,38
0,62
0,28
0,360
0,38
0,62
3,500
0,37
0,63
0,30
0,350
0,37
0,63
5,321
0,36
0,64
0,32
0,340
0,37
0,63
8,031
0,35
0,65
0,35
0,325
0,36
0,64
0,889
0,34
0,66
0,37
0,315
0,36
0,64
Площади линий влияния исчисляются по формулам:
для M1
ω = αl2;
для
соответствующего H
для
соответствующего Q
ω = αl,
где α
- коэффициенты из табл. 189.
Расчет производится в следующем порядке:
Соответственно данным параметрам mи nиз табл. 189 находят
значения maxM1 и соответствующие
ему H1
и Q1
и minM1с соответствующими H2 и Q2, после чего вычисляют:
Дальнейшая последовательность вычисления напряжений в сечениях свода от
временной нагрузки при maxMприведена в табл. 193.
Вычисление напряжении при minMвыполняется по аналогии для maxM.
Данные для предварительного расчета
Для ускоренного предварительного расчета бесшарнирных арок можно
воспользоваться следующими данными Н.И. Поливанова.
Ось арки принимается по параболе (рис. 57)
Рис 57. Геометрия бесшарнирной арки
и закон изменения сечений - по Штрасснеру при n = 0,3.
Тогда тригонометрические функции углов наклона оси арки будут:
в пяте
в четверти пролета
Высота арки:
в пяте
в четверти пролета
где hк - высота
сечения в замке.
Усилия от равномерно распределенной нагрузки интенсивностью g(постоянная
нагрузка) вычисляются по формулам:
вертикальная
опорная реакция
Vg = 0,5gl;
распор
момент в пяте
Здесь ys=0,244f - ордината упругого центра;
-
коэффициент упругого обжатия,
где v1 -
определяется по табл. 191;
iк
- радиус инерции сечения в замке.
Таблица 191
Значении величины v и v1в зависимости от
Величины
v
v1
0,1
1,2
1,15
0,14
1,24
1,14
0,18
1,27
1,12
0,22
1,31
1,09
0,26
1,35
1,07
0,30
1,39
1,04
Усилия от нагрузки gв сечении арки с координатами х,
yнаходятся
по формулам:
Усилия от временной нагрузки находятся по формулам:
Здесь коэффициент упругого обжатия
где v - коэффициент по табл.
191.
Величины и H определяются по линиям влияния (рис. 58). Для сечений в
замке, четверти пролета и в пяте площади этих линий влияния приведены в табл.
192.
Рис. 58. Линии влияния усилий в бесшарнирной арке (для предварительного
расчета)
Таблица 192
Площади участков линий влияния (к рис. 58)
Сечение
Загружение
Площади участков линий
влияния
K
соответствующее H
соответствующее
В ключе
+М
0,0044l2
0
-М
-0,0044l2
0
+М
0,0076l2
0,093l
-М
-0,0076l2
0,157l
В пяте
+М
0,0211l2
0,144l
-М
-0,0211l2
0,356l
Усилие от температуры определяется по формулам:
распор
нормальная сила в сечении х
Nx = Htcosφx;
момент в сечении х
Mx = Ht(f - y - ys),
где E-
модуль упругости материала арки;
Iк
- момент инерции ключевого сечения;
t-
изменение температуры;
α - коэффициент линейного удлинения.
Формулы для расчета параболических бесшарнирных арок
При приближенном определении значений усилий можно использовать готовые
решения для параболической арки, момент инерции сечения которой изменяется по
закону косинуса:
Эти решения, приведенные в табл.
194
для различных случаев загружения, даны без учета упругого обжатия.
Величину распора с учетом
упругого обжатия можно найти умножением табличных формул на коэффициент:
Для предварительного определения
усилий с учетом влияния упругого обжатия для арок, очерченных по квадратной
параболе или по кривой, близкой к ней по очертанию, при и при сечениях
постоянных или мало изменяющихся по длине арки, можно пользоваться следующими
формулами для линий влияния реактивных усилий (см. рис. 56):
Таблица
193
Элементы расчета на временную нагрузку при загружении Mmax
с с"
Элементы расчета
Расчетные сечения
Примечание
пята
четверть
ключ
1
cosφ.
sinφ.
Площадь сечения F.
Момент сопротивления W
2
v1
- по табл. 184
- по табл. 185
3
Ординаты y
По п. 6 табл. 187
4
Площадь линии влияния (для
загружения на maxM1)
ω1
По табл. 189 для
соответствующих mи n. Табличные коэффициенты умножать на l2
5
Эквивалентная нагрузка P1
(для соответствующей длины загружения линии влияния maxM1)
По таблицам эквивалентных
нагрузок с коэффициентом поперечной установки
6
maxM1 = P1ω1 (без учета упругого
обжатия)
7
Соответствующая площадь
линии влияния для H1
ω2
По табл. 189
Табличные коэффициенты
умножать на
8
Эквивалентная нагрузка P2(для загружения соответствующей площади влияния H1)
По таблицам эквивалентных
нагрузок с коэффициентом поперечной установки
9
Соответствующий распор.
H1= P2ω2
10
11
Полный момент:
12
Поперечная сила для пяты
(при загружении на maxM1):
Значения PA - по таблицам эквивалентных нагрузок для соответствующего значения
опорной реакции A(см.
П и У 1948 г. примеч. к табл. 9)
13
Для пяты
- поперечная сила - балочная.
При соответствующем
загружении на maxM1
14
Для пяты:
H1= P2ω2
Из п. 9
15
Продольная сила в пяте maxM:
H1из п. 9
16
Продольная сила для
четверти пролета:
H1из п. 9
17
Продольная сила для замка:
18
Напряжения для maxM:
Примечание. Принятая в таблице
последовательность заимствована из книги проф. Н.Я. Калмыкова «Каменные и
бетонные мосты и трубы». Автотрансиздат, 1957.
Таблица
194
Формулы вертикальных опорных реакций, распора моментов опорных и в
замке при различных загружениях параболических арок
Род нагрузки
Вертикальные опорные реакции
Распор
H
Опорные
моменты
Момент
в замке MK
VA
VB
MA
MB
-
-
-
-
-
-
+P(1 - β)2×
×(1 + 2β)
+Pβ2(3 - 2β)
+P
+P
+P
+P
0
0
0
0
0
+qlβ
+qlβ
0
0
0
0
Равномерный нагрев на t°
0
0
Примечание. Принятые обозначения:
Iк - момент инерции сечения в
ключе;
E-
модуль упругости материала арки;
α
- коэффициент линейного удлинения материала арки.
Трехшарнириая арка - статически
определимая система, вследствие этого линейные деформации ее оси (от
температуры, усадки и упругого обжатия) не вызывают в ней дополнительных
усилий.
Очертание оси арки рекомендуется
принимать по кривой давления от постоянной нагрузки.
Если нагрузка распределяется
равномерно по пролету симметричной арки, то ось арки очерчивается по квадратной
параболе с уравнением относительно осей хи у(рис. 63)
Рис. 63. Схема к расчету трехшарннрной арки с равномерно
распределенной нагрузкой
При этом распор равен:
Если нагрузка меняется по
закону:
где qк - интенсивность нагрузки в ключе и φ - угол наклона к
горизонтали, касательной к оси арки, что соответствует случаю арки постоянной
толщины, нагруженной только собственным весом, уравнение оси арки в координатах
x и yбудет
(рис. 64):
Рис. 64. Схема к расчету трехшарннрной арки с нагрузкой,
изменяющейся по закону косинуса
где e-
основание натуральных логарифмов;
в этом случае ось арки очерчена
по цепной линии и распор определяется формулой:
Если нагрузка изменяется вдоль
пролета арки по закону q = γy, так что в ключе qк = γc и в пяте qп = γb (рис. 65), то ось арки берется по катеноиду (см. выше).
Рис. 65. Схема к
расчету трехшарнирных арок. Загружение по закону q = γy
Если нагрузка изменяется по
закону:
то ось арки очерчивается по окружности,
причем радиус окружности равен:
Распор в этом случае вычисляется
по формуле:
H = qкR.
Для приближенного определения
ординат оси симметричной арки в трех промежуточных сечениях по двум значениям
интенсивности нагрузки - в ключе qк и в пяте qп(см. рис. 65) - проф. Г.П. Передерий рекомендует формулы табл. 199.
Таблица 199
Ординаты оси трехшарнирной арки
Абсцисса сечения х:l/2
Ординаты оси арки
0,25
0,50
0,75
При этом
распор может быть вычислен по формуле:
Для симметричной арки пологостью
от 1/4 до 1/12
ординаты оси, совпадающей с кривой давления, могут быть взяты по табл. 200. В
ней приведены относительные величины ординат , отсчитываемые от горизонтали, проходящей через центр
ключевого сечения, в зависимости от коэффициента (оси координат см. на
рис. 64). Кроме того, в этой таблице приведены коэффициенты a, b, abи a1с помощью которых можно получить следующие
величины:
равнодействующую нагрузки на полуарку
R= aqпl
(где l - пролет арки; qп- интенсивность нагрузки в пяте);
плечо силы R относительно центра пяты
r = bl;
распор
тангенс угла наклона пяты к вертикали:
равнодействующую
нагрузки на части арки, ограниченной сечениями в ключе и четверти пролета,
R1= a1qпl.
Таблица 200
Ординаты оси и коэффициенты для расчета пологой симметричной арки
Значения коэффициента k
Коэффициенты для расчета
1,0
0,95
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
a1
ab
b
a
Ординаты оси арки
0
0,2500
0,1250
0,2500
0,5000
1,0
0,9025
0,8100
0,6400
0,4900
0,3600
0,2500
0,1600
0,0900
0,0400
0,0100
0
0,1
0,1656
0,0852
0,2303
0,3700
1,0
0,8947
0,7968
0,6206
0,4692
0,3407
0,2347
0,1490
0,0834
0,0369
0,0092
0
0,2
0,1234
0,0669
0,2148
0,3110
1,0
0,8882
0,7853
0,6034
0,4507
0,3242
0,2211
0,1394
0,0775
0,0342
0,0085
0
0,3
0,0992
0,0555
0,2033
0,2730
1,0
0,8826
0,7760
0,5895
0,4361
0,3110
0,2105
0,1320
0,0732
0,0321
0,0080
0
0,4
0,0346
0,0488
0,1948
0,2505
1,0
0,8780
0,7677
0,5780
0,4241
0,3003
0,2021
0,1260
0,0395
0,0304
0,0075
0
0,5
0,0742
0,0441
0,1878
0,2348
1,0
0,8740
0,7606
0,5677
0,4137
0,2908
0,1948
0,1208
0,0663
0,0239
0,0070
0
0,6
0,0661
0,0400
0,1815
0,2204
1,0
0,8071
0,7541
0,5586
0,4042
0,2826
0,1882
0,1164
0,0637
0,0277
0,0068
0
0,7
0,0585
0,0367
0,1762
0,2081
1,0
0,8663
0,7481
0,5504
0,3952
0,2750
0,1826
0,1123
0,0614
0,0267
0,0066
0
0,8
0,0539
0,0340
0,1714
0,1984
1,0
0,8633
0,7428
0,5429
0,3878
0,2683
0,1771
0,1057
0,0592
0,0257
0,0064
0
0,9
0,0499
0,0319
0,1677
0,1901
1,0
0,8607
0,7383
0,5366
0,3818
0,2630
0,1729
0,1059
0,0574
0,0249
0,0052
0
1,0
0,0462
0,0301
0,1646
0,1828
1,0
0,8583
0,7345
0,5311
0,3758
0,2578
0,1689
0,1031
0,0558
0,0242
0,0060
0
1,1
0,0429
0,0286
0,1620
0,1766
1,0
0,8556
0,7309
0,5255
0,3698
0,2525
0,1649
0,1005
0,0542
0,0235
0,0058
0
1,2
0,0398
0,0274
0,1597
0,1716
1,0
0,8526
0,7249
0,5187
0,3639
0,2476
0,1611
0,0978
0,0528
0,0228
0,0056
0
В общем случае расчет трехшарнирных арок
производится по следующим формулам.
Вертикальная составляющая опорных реакций определяется так же, как
опорные реакции балки пролетом l:
где Mа, Mв-
моменты всех внешних нагрузок относительно опорных точек А и В(рис. 66).
Рис. 66. Схема к определению усилий и трехшарнирной арке
Распор:
где Мк- момент всех приложенных к одной из полуарок сил исключая
искомую реакцию H, относительно замкового шарнира.
Для сечения mс координатами xmи ymусилия находятся по
формулам:
момент
поперечная сила
нормальная сила
где - момент и поперечная сила в сечении mпростой
балки пролетом l.
Величины sinφm и cosφm определяются
через:
где y = F(x) -
уравнение оси арки.
Наибольшие нормальные фибровые напряжения в сечениях арки определяются
по формуле:
где Fm- площадь сечения арки;
Wm- момент сопротивления арки;
Im -
момент инерции сечения арки;
d- расстояние от центра тяжести сечения до крайнего волокна сечения.
Отыскание наибольшего значения σпо приведенной выше двухчленной формуле при расчете па
подвижную нагрузку приводит к одновременному загружению линий влияния Mmи Nm и вводит элемент неопределенности в смысле
выбора той критической установки подвижной нагрузки, которая давала бы
невыгоднейшую комбинацию. Поэтому при расчете на подвижную нагрузку
целесообразнее пользоваться ядровыми моментами, при которых напряжения
определяются по следующим одночленным формулам (рис. 67):
напряжения сжатия
напряжения растяжения
В этих выражениях Mu= N(c2+ e) и Mo= N(e- c1) представляют собой величины моментов в сечении арки относительно
крайних ядровых точек uи o.
Рис. 67. Схема к определению ядровых моментов: c1и c2- расстояния точек ядра от оси арки; e - эксцентриситет нормальной силы N.
Для прямоугольного сечения
Для наиболее часто встречающихся
случаев загружения параболических и кругойых арок ниже (в таблицах 201 и 202)
приводятся формулы и таблицы опорных реакций и усилий в сечениях. На рис. 68
даны значения опорных реакций для некоторых случаев нагрузки.
Рис. 68. Опорные реакции трехшариирной арки от различных нагрузок
Таблица 201
Значения V, M, Hи Nдля симметричной
параболической трехшарнирной арки при загружении вертикальными нагрузками
Загружение
Усилия
VA
VB
H
Mm (в 1/4l)
Mm1
(в 3/4l)
Nm (в 1/4l)
Nm1
(в 3/4l)
Груз Pв
среднем шарнире
Груз P в четверти пролета
Равномерная нагрузка по
всему пролету q
0
0
Равномерная нагрузка до
середины пролета
Таблица 202
Расчетные величины для круговых симметричных трехшарнирных арок
Уравнение оси
круговой арки:
Нагрузки:
p0 - полная,
равномерно распределенная на длине l;
p1-
односторонняя, равномерно распределенная на длине ;
p2 - односторонняя,
равномерно распределенная на длине c, соответствующая максимальному M в сечении при
Значения M, Qи Nданы для
сечения, определяемого координатами x2, y2 при
Наименование величины
Расчетные величины при
пологости арки f/l, равной
Множитель
1/2
1/3
1/4
1/5
1/6
1/7
1/8
1/10
Вертикальные реакции
x2
0,1465
0,1995
0,2205
0,2303
0,2365
0,2400
0,2423
0,2451
l
y2
0,7071
0,7271
0,7362
0,7407
0,7434
0,7449
0,7464
0,7475
f
c
0,2929
0,3543
0,3750
0,3831
0,3890
0,3920
0,3939
0,3960
l
0,5000p0l
0,3750p0l
0,2500
0,2915
0,3047
0,3101
0,3133
0,3152
0,3163
0,3176
p2l
0,0429
0,0628
0,0703
0,0736
0,0757
0,0768
0,0776
0,0784
p2l
Распор
H0
0,2500
0,3750
0,5000
0,6250
0,7500
0,8750
1,000
1,2500
p0l
H1
0,1250
0,1775
0,2500
0,3125
0,3750
0,4375
0,5000
0,6250
p1l
H2
0,0429
0,0942
0,1406
0,1840
0,2271
0,2688
0,3104
0,3920
p2l
Моменты
M0
-0,0259
-0,0110
-0,0061
-0,0040
-0,0027
-0,0019
-0,0015
-0,0009
p0l2
M1
0
+0,0094
+0,0124
+0,0136
+0,0142
+0,0146
+0,0149
+0,0153
p1l2
M2
+0,0107
+0,0154
+0,0170
+0,0180
+0,0182
+0,0184
+0,0185
+0,0186
p2l2
Поперечные силы
Q0
+0,0732
+0,0420
+0,0264
+0,0183
+0,0128
+0,0096
+0,0075
+0,0049
p0l
Q1
+0,0732
+0,0420
+0,0264
+0,0183
+0,0128
+0,0096
+0,0075
+0,0049
p1l
Q2
+0,0429
+0,0243
+0,0124
+0,0058
+0,0011
-0,0015
-0,0035
-0,0057
p2l
Нормальные силы
N0
-0,4268
-0,4787
-0,5722
-0,6805
-0,7948
-0,9128
-1,0326
-1,2758
p0l
N1
-0,2500
-0,2534
-0,2927
-0,3439
-0,3996
-0,4578
-0,5173
-0,6384
p1l
N2
-0,1036
-0,1294
-0,1634
-0,2005
-0,2397
-0,2791
-0,3191
-0,3986
p2l
Линии
влияния усилий в сечениях трехшарнирных арок изображены на рис. 69. Ниже
приводятся формулы для построения этих линий влияния.
Рис. 69. Линии слияния усилий в трехшарнирной
арке
Линия влияния опорных реакций Va и Vb(рис. 69, а и б):
Наибольшие ординаты расположены
под опорами и равны единице. Площади линий влияния:
Наибольшая ордината yрасположена под замковым шарниром и равна:
Площадь линий влияния H:
Линия влияния изгибающего
момента Mm в сечении с координатами xmи ymпоказана на рис. 69, г.
Нулевая точка линии влияния
определяется расстояниями:
Наибольшие ординаты расположены
под сечением и ключевым шарниром; значения их:
где
Площади линии влияния:
Линия влияния поперечной силы Qmв сечении с координатами xmи ym показана на рис. 69, д.
Нулевая точка (мнимая)
располагается от опоры Ана расстоянии:
Под ключевым шарниром
располагается точка перелома линии влияния. Наибольшие ординаты линии влияния
равны:
Площади линии влияния:
Линия влияния поперечной силы Qm в сечении m1 с действительной нулевой точкой показана на рис. 69, е. Положение нулевой точки rm1, величины ординат y1, y2и y3и площади ω1
вычисляются по приведенным выше формулам, подставляя в них вместо xm абсциссу xm1. Площади остальных участков равны:
Линия влияния нормальной силы Nmв сечении с координатами xmи ymпоказана на рис. 69, ж.
Перелом линии влияния расположен
под ключевым шарниром. Наибольшие ординаты равны:
Площадь линии влияния:
Для построения линий влияния
ядровых моментов (рис. 70) остаются справедливы формулы для центральных
моментов при замене ординат xm и ymординатами крайних точек ядра сечения.
Последние вычисляются по формулам (рис.71): верхняя точка ядра сечения
нижняя точка ядра сечения
Здесь
где ρ- радиус инерции;
d1и d2- расстояния от центра тяжести сечения до
крайних величин.
Рис. 70. Линии влияния ядровых моментов в трехшарнирной арке
Рис. 71. Схема к определению ординат ядровых точек
Прогиб трехшари ирных арок
Для частного случая пологой
параболической арки с I-const Мелан дает
уравнение линии влияния прогиба ключевого шарнира:
где a-
расстояние груза от опорного шарнира;
l- пролет;
f- стрела арки;
I, F- постоянные моменты инерции и площади сечения арки;
E- модуль упругости материала арки.
Равномерно распределенная
нагрузка gвызывает прогиб в ключе:
h0- приведенная (эквивалентная) высота равномерно распределенной
нагрузки, находящейся на призме обрушения, равная:
где q-
интенсивность нагрузки.
Рис. 72. Расчетная схема подпорных стенок: а - приведенная нагрузка на
призме обрушения; б - стенка с
восходящим откосом; в - стенка
с нисходящим откосом; г -
стенка с наклонной задней гранью; д -
стенка с наклонной задней гранью и сторону насыпи
Приводимые ниже формулы и
таблицы дают возможность с достаточной для практики точностью определять для
большинства случаев расчетное давление грунта на береговые опоры и подпорные
стенки.
Для упрощения расчетов формулы
составлены без учета трения призмы обрушения по кладке стенок, т.е. принято δ= 0, вследствие чего направление
бокового давления грунта Eвсегда горизонтально.
Формулы приведены для давлений
грунта на 1 м длины стенки.
Физико-механические показатели
грунта, необходимые для расчета подпорных стенок, должны, как правило,
приниматься по данным лабораторных исследований.
При их отсутствии для стадии
проектного задания можно пользоваться данными ТУ МКХ РСФСР 1948 г.,
приведенными в таблицах 203 - 205.
При разработке типовых проектов
принимают для свеженасыпанной насыпи γ = 1,7 т/м3и φ = 35°
с уменьшением до φ = 30° при возможности насыщения грунта водой.
Таблица 203
Ориентировочные значения объемных весов и углов внутреннего трения
связанных глинистых грунтов
Наименование грунтов и их
состояние
Пористость, %
Объемный вес грунта γв состоянии
естественной влажности, т/м3
Угол φ внутреннего трения, град.
Глины:
текучие
63 - 56
1,65 - 1,75
12
пластичные
56 - 47
1,75 - 1,80
25
твердопластнчные
47 - 32
1,80 - 2,00
37
Глинистые грунты:
текучие
56 - 50
1,75 - 1,85
15
пластичные
50 - 42
1,85 - 1,90
28
твердопластнчные
42 - 29
1,90 - 2,10
40
Суглинки:
текучие
52 - 46
1,80 - 1,90
20
пластичные
46 - 39
1,90 - 2,00
32
твердопластнчные
39 - 27
2,00 - 2,10
40
Пылеватые глинистые:
текучие
50 - 45
1,85 - 1,90
10
пластичные
45 - 39
1,90 - 2,00
20
твердопластнчные
39 - 28
2,00 - 2,10
33
Таблица 204
Ориентировочные значения объемных весов и углов внутреннего трения
сыпучих грунтов
Наименование грунтов и их
состояние
Пористость, %
Грунты сухие
Грунты влажные
Грунты мокрые
максимальная
минимальная
объемный вес γ т/м3
угол φ внутреннего трения, град.
объемный вес γ т/м3
угол φ внутреннего трения, град.
объемный вес γ т/м3
угол φ внутреннего трения, град.
Супеси:
рыхлые
53
-
1,4-1,6
22
1,6 - 1,7
20
1,8 - 1,85
15
средней плотности
-
-
1,6-1,8
25
1,7 - 1,9
22
1,85 - 2,05
17
плотные
-
30
1,8-1,95
27
1,9 - 2,05
25
2,05 - 1,15
18
Пылеватые пески и супеси:
рыхлые
50
-
1,5 - 1,6
27
1,7 - 1,8
22
1,85 - 1,9
18
средней плотности
-
-
1,6 - 1,8
30
1,8 - 1,9
25
1,9 - 2,0
20
плотные
-
30
1,8 - 2,0
33
1,9 - 2,05
25
2,0 - 2,15
22
Пески мелкие:
рыхлые
50
-
1,5 - 1,6
27
1,65 - 1,75
25
1,85 - 1,90
22
средней плотности
-
-
1,6 - 1,75
30
1,75 - 1,90
27
1,90 - 2,00
25
плотные
-
32
1,75 - 1,90
33
1,90 - 2,00
30
2,00 - 2,10
28
Пески средней крупности:
рыхлые
45
-
1,60 - 1,70
30
1,70 - 1,85
27
1,90 - 2,00
25
средней плотности
-
-
1,70 - 1,80
33
1,85 - 1,95
30
2,00 - 2,05
28
плотные
-
30
1,80 - 1,95
33
1,95 - 2,05
30
2,05 - 2,15
28
Пески крупные и
гравелистые:
рыхлые
38
-
1,85 - 1,90
33
1,95 - 2,00
30
2,05 - 2,10
30
средней плотности
-
-
1,90 - 2,00
35
2,00 - 2,10
33
2,10 - 2,20
33
плотные
-
25
2,00 - 2,10
37
2,10 - 2,15
35
2,20 - 2,25
35
Гравий и галька:
средней плотности
30
-
2,00 - 2,05
40
2,05 - 2,10
40
2,15 - 2,20
40
плотные
-
24
2,05 - 2,10
40
2,10 - 2,20
40
2,20 - 2,25
40
Таблица 205
Ориентировочные значения объемных весов и углов внутреннего трения
структурных грунтов
Подпорные стенки с горизонтальной поверхностью засыпки
1-й случай (рис.73).
где
Рис. 73. Схема нагрузки на стенку. 1-й случай
Нижняя ордината эпюры давления:
Значения kE для некоторых φ приведены в
табл. 206.
Таблица 206
Значении величин и kE
для некоторых углов
Угол внутреннего трения φ, град.
20
0,70
0,490
25
0,637
0,406
26
0,625
0,391
27
0,613
0,376
28
0,601
0,361
29
0,589
0,347
30
0,577
0,333
31
0,566
0,320
32
0,554
0,307
33
0,543
0,295
34
0,532
0,283
35
0,521
0,271
36
0,510
0,260
37
0,499
0,249
38
0,488
0,238
39
0,477
0,228
40
0,466
0,217
41
0,456
0,208
42
0,445
0,198
43
0,435
0,189
44
0,424
0,180
45
0,414
0,171
50
0,364
0,132
2-й случаи
(рис. 74).
Рис. 74. Схема нагрузки на стенку. 2-й случай
Ординаты эпюры давления:
3-й случай
(рис. 75).
где
S -
центр тяжести временной нагрузки и призмы обрушения x0 и y0 -
координаты точки S
Проектируя на заднюю грань стенки точку S параллельно плоскости обрушения, определяем точку
приложения E Рис. 75. Схема нагрузки на стенку. 3-й случай
Координаты x0и y0
где
Данные для построения эпюры
давления:
4-й случай (рис. 76).
где
S- центр тяжести временной нагрузки и призмы обрушения x0 и y0 -
координаты центра тятести - S z - плечо давления Рис. 76. Схема нагрузки на стенку. 4-й случай
Координаты x0
и y0:
где
Данные для построения эпюры давления:
5-й случай (рис. 77).
где
S - центр тяжести временной нагрузки
и призмы обрушения x0 и y0 -
координаты центра тяжести Рис. 77. Схема нагрузки на стенку. 5-й случай
Координаты x0
и y0:
где
Данные для построения эпюры давления:
Примечание к 4-му и 5-му случаям.
При определении значения по формуле может
оказаться, что тогда значение получается мнимое.
Значение может получиться и
равное нулю и даже отрицательное. Во всех этих случаях следует полагать, что
призма обрушения проходит через конец нагрузки b, т.е. через точки Dи
B, и отсюда
определять величину , а именно: для 4-го случая и для 5-го случая
Случаи 6a
и 6b (рис. 78).
Рис. 78. Схема нагрузки на стенку. Случаи 6a и 6b
Случаи 6а. Стенка имеет наклон +β; горизонтальное
давление определяется на фиктивную грань a - bс учетом дополнительной
вертикальной нагрузки от веса клина a1ab.
Временная
нагрузка на призме обрушения устанавливается непосредственно у этой грани.
Случай 6b. Стенка имеет наклон -β (в сторону насыпи); горизонтальное давление
на грань ABопределяется по формуле:
E = E0(1 - tgβtgφ),
где E0- давление земли на
условную вертикальную грань AC.
Плечо давления принимается то
же, что и для давления на стенку AC.
Подпорные стенки с наклонной поверхностью засыпки
В дальнейшем имеется в виду, что
наклонная поверхность лежит под углом α ≤ β(кроме особо рассмотренного 15-го случая).
В 7-м и 8-м случаях
рассматриваются стенки, где плоскость обрушения засыпки пересекает откос.
7-й случай (рис. 79).
Ордината эпюры давления:
Рис. 79. Схема нагрузки на стенку. 7-й случай
Для частных случаев откосов 1:mи φ значения kприведены в табл. 217.
8-й случай (рис. 80).
Ордината эпюры давления:
Рис. 80. Схема нагрузки на стенку. 8-й случай
Для частных случаев откосов 1:mи φ значения kE приведены в табл. 216.
9-й случай (рис. 81). - частный
случай, когда α= φ
Рис. 81. Схема нагрузки на стенку. 9-й случай
10-й случай. Плоскость обрушения
пересекает горизонтальную поверхность засыпки, временная нагрузка на
поверхности отсутствует (рис. 82).
Рис. 82.
Схема нагрузки на стенку. 10-й случай
Плечо давления грунта может определяться положением центра тяжести эпюры
давления или по формуле:
z= ξH,
где
Данные для построения эпюры давления:
Значения n,
ξ и при γ =
1,0 т/м3φ = 30° для различных mи k приведены в табл. 207.
11-й случай. Плоскость обрушения пересекаем горизонтальную поверхность
засыпки, граница временной нагрузки отстоит от бровки на расстоянии K(рис.
83).
где
Рис. 83. Схема нагрузки на стенку. 11-й случай
Плечо давления z
определяется как расстояние до центра тяжести эпюры давления.
Ординаты эпюры давления:
12-й случай. Отличается от 11-го случая тем, что граница нагрузки не
доходит до плоскости обрушения на величину m(рис. 81).
где
Рис. 84. Схема нагрузки на стенку. 12-й случаи
Плечо давления zнаходится как расстояние до центра тяжести эпюры.
Ординаты эпюры давления:
Значения могут получаться
мнимые и отрицательные. В этих случаях следует поступать так же, как это
указано в примечании для 4-го и 5-го случаев.
13-й случай. Бесконечно простирающийся откос начинается на расстоянии c от стенки (рис. 85).
Рис. 85 Схема нагрузки на стенку. 13-й случай
Эпюра давления может быть построена следующим образом.
Продолжают откос до пересечения со стенкой в точке bи определяют ординату
давления как для стенки высотой H1с бесконечным откосом под углом α
(см. 7-й случай).
Ордината σн определяется как для стенки высотой Hс
горизонтальной засыпкой. Расчетная эпюра давления показана на рисунке сплошными
линиями и заштрихована.
14-й случай. Отличается от 13-го случая тем, что откос распространяется
не бесконечно вверх, а только до высоты h0(рис. 86).
Рис. 86. Схема нагрузки на стенку. 14-й случай
Аналогично предыдущему случаю находятся: ордината - как для стенки
высотой H1с
бесконечным откосом, ордината - как для стенки
высотой H + h0 с горизонтальной
засыпкой и ордината σн - как для стенки высотой H с горизонтальной засыпкой. Расчетная эпюра давления
показана на рисунке 86 сплошными линиями и заштрихована.
15-й случай. Простирающийся вверх откос наклонен под углом β
> φ
(рис. 88).
Примером такого случая может быть стенка набережной при высоком
горизонте воды, когда откос выше горизонта воды и грунт откоса, будучи сухим
или насыщенным водой, при быстром ее спаде имеет величину:
γ2 > γ1
где γ1
- объемный вес грунта, находящегося в воде во взвешенном состоянии.
В этом случае по обычно принятому методу расчета приводят вес грунта,
расположенный выше уровня воды x- x, к весу нижележащего грунта, т.е.
высоты откоса aумножают на (рис 87).
Рис. 87. Общая схема нагрузки на стенку. 15-й случаи
При этом линия приведенного откоса пойдет под углом β(см. рис. 88) и может оказаться, что
β > φ.
Рис. 88. Схема нагрузки на стенку. 15-й случай
Для такого случая может быть применен способ инж. Лозовского Б.М.1,
по которому эпюра давления (см. рис. 88) строится следующим способом.
1 Проф. Ляхницкий и др.
Портовые гидротехнические сооружения. Часть 1 Речиздат, 1955.
Определяют ординату давления как для случая
отсутствия откоса:
где
Если угол откоса α = φ и в предположении γ1 = γ2, то
интенсивность давления определялась бы
выражением:
где
Следовательно, разность представляет собой влияние откоса с
углом α = φв
предположении однородности грунтов, т.е. при γ1 = γ2.
Если же в действительности угол приведенного откоса
окажется:
β
= φ и γ2
≠ γ1
то искомая
интенсивность давления определится из
выражения:
или
В соответствии с этим выражением и интенсивность давления ayв любой точке m, находящейся на расстоянии yот верха стенки, равна:
где q1 = γ1yпр -
интенсивность равномерно распределенной нагрузки на рассматриваемом уровне, не
считая влияния откоса;
yпр - при
однородном грунте равно y,
а при неоднородном представляет собой приведенную высоту вышележащих слоев к
грунту в точке m;
- интенсивность
треугольной нагрузки в точке n,
определяемой линией m - n, проведенной через точку mпод углом φ.
В насыщенных водой грунтах величина давления грунта на стенку вследствие
уменьшения веса частиц грунта в воде уменьшается. Но, как показали опыты,
стенка испытывает также и гидростатическое давление воды, что в сумме дает
большее давление.
Величина суммарного давления грунта и воды определяется и зависимости от
положения уровня воды по отношению к уровню грунта. Различают два случая.
1. Уровень воды выше или совпадает с уровнем грунта (рис. 89).
Рис. 89. Схема нагрузки на стенку при уровне воды выше уровня
грунта
Грунт в этом случае по всей высоте находится во взвешенном состоянии и
величина суммарного давления грунта воды на стенку равна:
Эпюра давления грунта имеет вид двух треугольников.
2. Уровень воды ниже уровня грунта (рис. 90). В этом случае во
взвешенном состоянии находится грунт, расположенный ниже уровня воды, и
величина суммарного давления находится по формуле:
где kE - коэффициент
давления грунта, по предыдущим формулам;
α -
объем частиц в единице объема грунта (для песка равно от 0,55 до 0,70);
γ -
объемный вес сухого грунта;
γ0
- объемный вес воды.
Рис. 90. Схема нагрузки на
стену при уровне воды ниже уровни грунта
Учет насыщенного состояния грунта распространяется не только на пористые
грунты (крупный песок), но и на грунты связные (глинистые). Указанное
обстоятельство заставляет с большой осторожностью относиться к условиям сдвига
стенок в глинистых водонасыщенных грунтах и учитывать в этом случае
взвешивающее действие.
Таблица 207
Значения коэффициентов n, ζ и углов (при γ =1,0 т/м3и φ = 30°)
Определение давлений от автомобилей и гусеничной нагрузки
Давление грунта при наличии автомобильной и гусеничной нагрузки на
призме обрушения в автодорожных мостах, в отличие от железнодорожных, следует
определять с учетом сосредоточенного действия этой нагрузки, так как замена
отдельных давлений осей нагрузкой, распределенной равномерно вдоль всей призмы
обрушения, в данном случае ведет к значительным ошибкам вследствие большого
расстояния между осями колес и отсутствия ростверка из рельсов и шпал.
Правилами и указаниями Гунюсдора 1948 г. (§359 - 360) рекомендуется
давление грунта от автомобильной нагрузки, находящейся на призме обрушения,
определять, применяя следующий прием.
При расположении рассчитываемой подпорной стенки перпендикулярно
направлению движения для расчета выделяют 1 пог. м длины стенки и находят силу:
приходящуюся на 1
пог. м длины стенки от одного
ряда задних колес автомобилей утяжеленного веса или давление от 1 пог. м полос гусеничной нагрузки.
Здесь S
при автомобильной нагрузке - расстояние между внешними гранями ободов колес
автомобилей (рис. 91); S
при гусеничной нагрузке - расстояние между внешними гранями полос (рис. 92).
Рис. 91 Схема к определению интенсивности давления от автомобильной
нагрузки при расположении подпорной стенки перпендикулярно движению
Рис. 92. Схема к определению интенсивности давления от гусеничной
нагрузки при расположении подпорной стенки перпендикулярно движению
Длина площадки опирания aпринимается для автомобиля равной
длине соприкасания обода, т.е. 20 см. с
учетом распределения давления через полотно и под углом 15°, а для гусеничной
нагрузки - равной длине гусеницы.
В тех случаях, когда имеется распределение сосредоточенного давления в
стороны параллельно стенке, например для обсыпных устоев с откосными крыльями,
расчетное давление на 1 пог. м стенки
уменьшается умножением на коэффициент α, принимаемый по табл. 208,
в зависимости от отношений где H - высота стенки.
Таблица 208
Значения коэффициентов
α
0,10
0,327
0,12
0,360
0,14
0,389
0,16
0,414
0,18
0,437
0,20
0,459
0,25
0,505
0,30
0,544
0,35
0,576
0,40
0,602
0,50
0,668
0,60
0,681
0,70
0,710
0,80
0,735
0,90
0,754
1,00
0,772
1,20
0,810
1,50
0,840
2,00
0,875
3,00
0,900
4,90
0,92
Более 4,90
1,00
В тех случаях, когда рассасывания единичного
давления в стороны - параллельно стенке не имеется, например в устоях с
обратными стенками, коэффициент α
для автомобильной нагрузки принимается равным 1,0, но ширина S может быть принята
равной расстоянию между краями кузовов автомобилей (рис. 93).
Рис. 93. Схема к определению интенсивности нагрузки при устоях с
обратными стенками
При расположении стенки (рис. 94) параллельно движению (например,
обратные стенки устоя, подпорные стенки подходов) при высоте насыпи до 2 м давление, приходящееся на 1 пог. м, может быть определено по формуле:
где G-
давление заднего колеса автомобиля;
a - ширина
опирания колеса вдоль движения;
H -
высота стенки.
Рис. 94. Схема к определению интенсивности давления от
автомобильной нагрузки при расположении подпорной стенки параллельно движению
Если высота насыпи более 4 м, то
давление на 1 пог. м по длине
стенки определяется по формуле:
где c-
расстояние между передней и задней осями грузовика:
- вес заднего и переднего колес.
При высоте насыпи от 2 до 4 м давление определяется по линейной
интерполяции.
В направлении, перпендикулярном стенке (поперек движения), размер
площадки принимается равным ширине обода или полосы гусеничной нагрузки.
В практике расчета устоев, при определении давления земли с учетом
временной нагрузки обычно встречаются два случая:
1-й случай. На призме обрушения находится одна ось автомобиля (рис. 95),
вторая ось выходит за пределы призмы обрушения. В этом случае и расчет ведется по
формулам, указанным в § 42 для 4-го и 5-го случаев.
Рис. 95. Схема к определению давления земли при расположении одной
оси автомобиля на призме обрушения
2-й случай. В пределах основной призмы обрушении, т.е. на расстоянии Htg(45° - φ/2) помещаются два груза (рис. 96). В
этом случае призма обрушения проводится через конец площадки давления от
второго груза и Давление земли Eи
плечо zопределяются
построением эпюры единичных давлений (см. рис. 96) по следующим формулам:
Pine. 96.
Схема к определению давления земли при расположении двух осей автомобиля на
призме обрушения
При действии сосредоточенных сил, т.е. при малой ширине грузовой
площадки b, вычисляемое по указанным выше формулам давление земли при
малом значении угла призмы обрушения получается
преувеличенным, так как игнорирование трения земли по кладке, при почти нулевых
значениях угла призмы обрушения, дает преувеличенный запас.
Учитывая сказанное, при определении давления земли от сосредоточенных
нагрузок, находящихся непосредственно у стенки, необходимо вводить поправочные
коэффициенты ε.
В табл. 209 приводятся значения поправочных коэффициентов ε,
исчисленные для угла внутреннего трения засыпки φ = 35° и для двух
случаев трения грунта призмы обрушения:
по каменной стенке, при коэффициенте трения грунта по стенке f = 0,35;
по грунту засыпки (трение призмы обрушения по фиктивным стенкам из
грунта, при стенках наклонных и с уступами) при коэффициенте трения f = 0,70, т.е. при угле
внутреннего трения φ = 35°.
Таблица 209
Поправочные коэффициенты ε для φ = 35°
Угол призмы обрушения с вертикальной стенкой
Коэффициенты ε
при трении грунта по
каменной стенке
при трении грунта о грунт
27°45'
-
1,0
27°30'
1,000
-
26°
0,987
0,976
24°
0,973
0,951
22°
0,958
0,925
20°
0,943
0,898
18°
0,928
0,871
16°
0,913
0,844
14°
0,896
0,816
12°
0,860
0,789
10°
0,863
0,761
8°
0,846
0,734
6°
0,828
0,707
4°
0,810
0,679
2°
0,791
0,652
Таблица составлена для малых призм обрушения с углами от 0°
до 27°45' через каждые 2°.
Определение расчетного случая загружения временной нагрузкой
В практике расчета береговых опор приходится встречаться со случаями
загружения поверхности засыпки временной нагрузкой, которая может оказаться
расположенной относительно расчетной плоскости обрушения по-разному, а от этого
зависит применение той или иной формулы для расчета давления земли.
Поэтому при наличии временной нагрузки на поверхности засыпки прежде
всего необходимо выяснить, к какой из следующих пяти схем загружений (рис. 97)
подходит рассматриваемый случай.
Рис. 97. Схемы расположения временной нагрузки на поверхности
засыпки
Схема I - призма
обрушения не загружена временной нагрузкой (рисунки 73, 79 - 82).
Схема II -
временная нагрузка полностью находится на призме обрушения (рисунки 76; 77; 83; 84).
Схема III -
временная нагрузка частично располагается на призме обрушения (рисунки 74; 75).
Схема IV -
временная нагрузка располагается полностью на призме обрушения, построенной по
тангенсу угла, определяемого случаями схемы III, и частично - на призме обрушения, построенной по тангенсу
угла, определяемого случаями схемы II. В этом случае условно принято определять давление грунта от
призмы обрушения ограниченной плоскостью обрушения, проведенном через конец
нагрузки.
Схема V -
плоскость обрушения засекает откос насыпи.
На схемах (см. рис. 97) цифрами 1,
2 и 4 обозначены плоскости обрушения, построенные по определяемым
соответственно по формулам для случаев давления земли по схемам I, II и III, - тангенсы углов,
образуемых плоскостями, проведенными через начало ни конец кнагрузки, с вертикалью.
Расчетный случаи, формулами которого надлежит пользоваться, определяется
по табл. 210.
Таблица 210
Характеристики расчетных случаев для временной нагрузки
№ схем по рис. 97
Неравенства, определяющие
расчетный случай
Расчетный случаи для
определения угла наклона плоскости обрушения
В практике проектирования автодорожных мостов получили широкое применение
таблицы С.В. Зелепугина, позволяющие облегчить и сократить вычислительную
работу по определению давления земли при наличии временной нагрузки на призме
обрушения.
Эти таблицы составлены для вертикальной стенки в предположении
отсутствия трения между грунтом и поверхностью стенки. Для наклонных стенок
вносится поправка, как это приведено для случая 6б.
Для вертикальных стенок давление земли может быть определено по общей
формуле:
(1)
где
(2)
Коэффициенты A
и B для наиболее
распространенных случаев, могут определяться по табл. 211.
Таблица
211
Формулы коэффициентов A, Bи K
Вид призмы обрушения и
схема расположения нагрузки на насыпи
Формулы коэффициента A
Формулы коэффициента B
Формулы коэффициента K
Если ввести обозначения:
(3)
то формулы (1) и
(2) представляются в следующем виде:
E = γAKE;(3)
(4)
В таблице 213 приведены значения для различных величин
Kи
φ. Влияние временной нагрузки учитывается следующим образом.
Предварительно определяется расчетный случай по табл. 212.
Таблица
212
Определение расчетных случаев расположения временной нагрузки
Расчетный случай
Схема расположения нагрузки
Неравенство
Давление земли определяется
по
1
K1
2
K2
3
K3
3а
K3
требуется дополнительная проверка по K1
4
K2при
плоскости обрушения, проведенной под конец нагрузки
4а
То же, что и по схеме 4, но с дополнительной
проверкой по K1
5
Случаи неограниченного откоса см. табл. 217;
при нисходящем откосе см. табл. 216
Таблица
213
Значения коэффициентов для определения горизонтального давления
земли
K
Значения величин
KE
φ = 20°
-0,30
0,099
2,082
0,830
-0,20
0,349
1,224
0,672
-0,10
0,541
0,887
0,568
0,00
0,700
0,700
0,490
0,10
0,837
0,579
0,427
0,20
0,960
0,481
0,367
0,30
1,074
0,423
0,328
0,40
1,177
0,371
0,288
0,50
1,275
0,327
0,254
0,60
1,368
0,290
0,223
0,70
1,455
0,259
0,196
0,80
1,539
0,231
0,171
0,90
1,618
0,207
0,149
1,00
1,696
0,186
0,130
1,10
1,770
0,167
0,112
1,20
1,841
0,150
0,096
1,30
1,911
0,134
0,082
1,40
1,978
0,120
0,069
1,50
2,044
0,107
0,058
1,60
2,107
0,093
0,047
1,70
2,170
0,082
0,038
1,80
2,230
0,073
0,031
1,90
2,280
0,064
0,024
2,00
2,348
0,052
0,018
2,10
2,404
0,014
0,013
2,20
2,460
0,038
0,009
2,30
2,514
0,029
0,006
2,40
2,568
0,023
0,004
2,50
2,620
0,017
0,002
φ = 25°
-0,30
0,198
1,366
0,680
-0,20
0,368
0,983
0,553
-0,10
0,507
0,785
0,477
0,00
0,637
0,637
0,405
0,10
0,750
0,535
0,347
0,20
0,853
0,456
0,297
0,30
0,948
0,395
0,256
0,40
1,038
0,343
0,219
0,50
1,121
0,291
0,181
0,60
1,202
0,263
0,158
0,70
1,279
0,231
0,134
0,80
1,352
0,210
0,116
0,90
1,422
0,178
0,093
1,00
1,490
0,156
0,076
1,10
1,566
0,136
0,062
1,20
1,620
0,117
0,049
1,30
1,681
0,091
0,035
1,40
1,741
0,084
0,029
1,50
1,800
0,070
0,021
1,60
1,857
0,058
0,015
1,70
1,912
0,044
0,009
1,80
1,967
0,035
0,004
1,90
2,019
0,023
0,003
2,00
2,071
0,012
0,001
φ = 30°
-0,40
0,063
1,505
0,697
-0,30
0,223
1,089
0,569
-0,20
0,356
0,851
0,473
-0,10
0,473
0,692
0,397
0,00
0,577
0,577
0,333
0,10
0,673
0,489
0,280
0,20
0,762
0,418
0,235
0,30
0,846
0,359
0,196
0,40
0,925
0,300
0,157
0,50
1,000
0,268
0,134
0,60
1,072
0,231
0,109
0,70
1,134
0,202
0,088
0,80
1,206
0,160
0,065
0,90
1,270
0,144
0,053
1,00
1,332
0,111
0,037
1,10
1,391
0,090
0,026
1,20
1,449
0,071
0,018
1,30
1,505
0,063
0,013
1,40
1,560
0,0407
0,008
1,50
1,613
0,032
0,004
φ = 35°
-0,40
0,100
1,162
0,582
-0,30
0,221
0,918
0,478
-0,20
0,330
0,747
0,396
-0,10
0,430
0,618
0,327
0,00
0,520
0,520
0,271
0,10
0,603
0,446
0,223
0,20
0,683
0,377
0,182
0,30
0,757
0,322
0,147
0,40
0,830
0,274
0,121
0,50
0,898
0,232
0,093
0,60
0,963
0,196
0,070
0,70
1,025
0,164
0,054
0,80
1,085
0,135
0,038
0,90
1,145
0,103
0,026
1,00
1,202
0,083
0,017
1,10
1,255
0,062
0,010
1,20
1,308
0,042
0,004
φ = 40°
-0,40
0,105
0,964
0,488
-0,30
0,207
0,790
0,400
-0,20
0,300
0,657
0,329
-0,10
0,382
0,557
0,273
0,00
0,467
0,467
0,218
0,10
0,542
0,395
0,174
0,20
0,613
0,334
0,136
0,30
0,681
0,282
0,107
0,40
0,747
0,235
0,081
0,50
0,810
0,194
0,060
0,60
0,870
0,158
0,043
0,70
0,927
0,126
0,028
0,80
0,985
0,095
0,018
0,90
1,040
0,068
0,010
1,00
1,093
0,043
0,004
φ = 45°
-0,50
0,000
1,000
0,500
-0,40
0,095
0,826
0,408
-0,30
0,183
0,681
0,329
-0,20
0,265
0,571
0,266
-0,10
0,342
0,480
0,212
0,00
0,414
0,414
0,171
0,10
0,483
0,349
0,134
0,20
0,549
0,281
0,103
0,30
0,612
0,241
0,075
0,40
0,673
0,196
0,053
0,50
0,732
0,155
0,036
0,60
0,789
0,118
0,022
0,70
0,844
0,085
0,012
0,80
0,897
0,054
0,005
0,90
0,949
0,026
0,001
1,00
1,000
0,000
0,000
φ = 50°
-0,40
0,078
0,714
0,342
-0,30
0,153
0,608
0,278
-0,20
0,222
0,520
0,220
-0,10
0,295
0,436
0,172
0,00
0,364
0,364
0,132
0,10
0,436
0,295
0,099
0,20
0,489
0,248
0,072
0,30
0,548
0,200
0,050
0,40
0,607
0,154
0,032
0,50
0,658
0,117
0,019
0,60
0,716
0,077
0,009
0,70
0,768
0,043
0,003
Для этого следует:
определить для трех случаев по
формулам табл. 211;
определить тангенсы углов наклона плоскостей, проведенных соответственно
под начало и под конец временной нагрузки:
пользуясь табл. 213,
по (колонка ) определить соответствующие им коэффициенты kни
kк
(колонка K);
в соответствии с указаниями табл. 212
определить, какой случай имеет место.
После установления по табл. 212
расчетного случая расположения временной нагрузки на призме обрушения
определяется величина горизонтального давления земли на подпорную стенку:
для случаев 1 - 3а по формуле:
E = γAKE;
для случаев 4 - 4 а по формуле:
(5)
для случая 5 по формуле для неограниченного откоса:
(5а)
Коэффициент KEнаходится по табл. 216
(в случае нисходящего откоса) или по табл. 217
(в случае восходящего откоса).
Плечо приложения силы горизонтального давления грунта на стенку при
отсутствии временной нагрузки на призме обрушения находится по формуле:
(6)
где Km- коэффициент, значения которого
приведены в табл. 214.
Таблица 214
Коэффициенты Km для призмы
обрушения без временной нагрузки
K
Значения Km при m, равном
1,0
1,25
1,50
1,75
2,0
φ = 20°
0,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,10
1,20
1,15
1,11
1,09
1,07
0,20
1,295
1,19
1,135
1,015
1,06
0,30
1,25
1,16
1,105
1,07
0,40
1,31
1,19
1,12
1,075
0,50
1,23
1,13
1,035
0,60
1,29
1,16
1,10
0,70
1,37
1,19
1,115
0,80
1,23
1,135
0,90
1,29
1,165
1,00
1,365
1,20
1,10
1,25
1,20
1,31
1,30
-
φ = 25°
0,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,10
1,19
1,135
1,105
1,08
1,06
0,20
1,24
1,15
1,10
1,06
1,04
0,30
1,32
1,175
1,10
1,06
1,03
0,40
1,215
1,11
1,055
1,025
0,50
1,27
1,13
1,055
1,02
0,60
1,35
1,155
1,06
1,02
0,70
1,195
1,065
1,02
0,80
1,24
1,075
1,02
0,90
1,31
1,095
1,02
1,00
1,42
1,12
1,02
1,10
1,155
1,02
1,20
1,21
1,025
1,30
1,29
1,03
1,40
1,43
1,04
1,50
1,055
1,60
1,08
1,70
1,13
1,80
1,21
φ = 30°
0,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,10
1,155
1,105
1,07
1,05
1,04
0,20
1,19
1,11
1,06
1,035
1,02
0,30
1,24
1,115
1,05
1,02
1,01
0,40
1,30
1,125
1,05
1,015
1,00
0,50
1,415
1,15
1,05
1,01
1,00
0,60
1,19
1,055
1,00
0,70
1,25
1,06
0,80
1,35
1,065
0,90
1,085
1,00
1,115
1,10
1,165
1,20
1,27
φ = 35°
0,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,10
1,13
1,08
1,05
1,035
1,025
0,20
1,14
1,07
1,03
1,01
1,00
0,30
1,155
1,06
1,02
1,00
0,40
1,185
1,055
1,01
0,50
1,25
1,055
1,00
0,60
1,35
1,05
0,70
1,075
0,80
1,10
0,90
1,14
1,00
1,24
φ = 40°
0,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,10
1,10
1,06
1,04
1,02
1,01
0,20
1,09
1,03
1,01
1,00
1,00
0,30
1,085
1,015
1,00
0,40
1,09
1,01
0,50
1,10
1,005
0,60
1,14
1,00
0,70
1,21
0,80
1,39
φ = 45°
0,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,10
1,07
1,04
1,02
1,00
1,00
0,20
1,04
1,01
1,00
0,30
1,03
1,00
0,40
1,01
0,50
1,01
0,60
1,00
0,70
1,00
φ = 50°
0,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,10
1,05
1,02
1,005
1,00
1,00
0,20
1,01
1,00
0,30
1,00
При наличии на призме обрушения временной нагрузки для
нахождения плеча zнеобходимо определить величины давлений отдельно от временной
нагрузки Eври от грунта засыпки Eа.
Величину давления Eвропределяют по формуле:
(7)
Здесь Pвр
= γlh0
- вес временной нагрузки на призме обрушения.
Давление от грунта засыпки Eзнаходят как разность
Eз = E - Eвр.(8)
Плечо zзприложения силы давления грунта определяют по формуле (6), но
коэффициент Kmв этом случае находят по табл. 215
(в зависимости от величин и K = K1).
Таблица
215
Коэффициент Km для призм с временной
нагрузкой
Значения Kmпри K, равном
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
m =
1,00
0,30
1,000
0,35
1,000
0,006
0,40
1,000
1,027
0,45
1,000
1,052
1,000
0,50
1,000
1,078
1,015
0,55
1,000
1,102
1,044
1,000
0,60
1,000
1,124
1,079
1,018
0,65
1,000
1,144
1,114
1,056
1,003
0,70
1,000
1,162
1,148
1,100
1,037
0,75
1,000
1,179
1,180
1,147
1,091
1,018
0,80
1,000
1,193
1,210
1,193
1,151
1,082
1,014
0,85
1,000
1,206
1,238
1,237
1,213
1,162
1,092
1,007
0,90
1,000
1,222
1,263
1,279
1,274
1,246
1,200
1,114
1,002
0,95
1,000
1,230
1,287
1,318
1,332
1,330
1,319
1,278
1,183
1,004
1,00
1,000
1,240
1,309
1,354
1,387
1,413
1,437
1,456
1,471
1,490
1,500
m =
1,25
0,35
1,000
0.40
1,000
1,007
0,45
1,000
1,023
0,50
1,000
1,042
1,000
0,55
1,000
1,062
1,009
0,60
1,000
1,080
1,028
0,65
1,000
1,097
1,051
1,006
0,70
1,000
1,113
1,076
1,026
0,75
1,000
1,127
1,101
1,054
1,009
0,80
1,000
1,140
1,125
1,085
1,035
1,000
0,85
1,000
1,151
1,148
1,116
1,070
1,020
0,90
1,000
1,164
1,169
1,147
1,108
1,057
1,010
0,95
1,190
1,178
1,147
1,104
1,048
1,003
1,00
1,208
1,206
1,187
1,151
1,103
1,041
1,000
0,05
1,234
1,223
1,200
1,162
1,106
1,038
1,10
1,260
1,262
1,250
1,225
1,183
1,122
1,039
1,15
1,296
1,298
1,288
1,254
1,224
1,156
1,050
1,20
1,330
1,345
1,350
1,346
1,333
1,302
1,237
1,094
1,25
1,387
1,410
1,427
1,445
1,459
1,472
1,484
m =
l,50
0,40
1,000
1,000
0,45
1,000
1,009
0,50
1,000
1,023
0,55
1,000
1,037
1,000
0,60
1,000
1,052
1,005
0,65
1,000
1,067
1,021
0,70
1,000
1,081
1,038
1,002
0,75
1,000
1,094
1,057
1,015
0,80
1,000
1,106
1,076
1,034
1,002
0,85
1,000
1,117
1,095
1,055
1,016
0,90
1,113
1,075
1,037
1,004
0,95
1,131
1,102
1,063
1,022
1,000
1,00
1,149
1,125
1,090
1,049
1,011
1,05
1,148
1,118
1,080
1,037
1,004
1,10
1,147
1,113
1,072
1,028
1,002
1,15
1,174
1,147
1,110
1,066
1,020
1,20
1,181
1,151
1,111
1,052
1,014
1,25
1,215
1,192
1,160
1,115
1,061
1,009
1,30
1,247
1,234
1,210
1,174
1,126
1,059
1,000
1,35
1,274
1,251
1,277
1,205
1,148
1.075!
1,003
1,40
1,312
1,298
1,279
1,244
1,189
1,103
1,000
1,45
1,360
1,361
1,358
1,346
1,321
1,273
1,175
1,50
1,407
1,421
1,437
1,450
1,460
1,470
1,480
m=
1,75
0,45
1,000
1,002
0,50
1,000
1,010
0,55
1,000
1,022
0,60
1,000
1,035
1,000
0,65
1,000
1,043
1,006
0,70
1,000
1,059
1,017
0,75
1,000
1,071
1,031
1,001
0,80
1,000
1,082
1,046
1,010
0,85
1,000
1,092
1,062
1,024
1,000
0,90
1,077
1,040
1,007
0,95
1,092
1,058
1,019
1,001
1,00
1,077
1,035
1,010
1,05
1,095
1,061
1,027
1,002
1,10
1,083
1,047
1,015
1,15
1,104
1,071
1,035
1,006
1,20
1,096
1,050
1,025
1,001
1,25
1,124
1,088
1,051
1,016
1,30
1,118
1,082
1,044
1,010
1,35
1,148
1,116
1,078
1,038
1,005
1,40
1,151
1,117
1,076
l,033
1,001
1,45
1,191
1,158
1,121
1,07
1,031
1,000
1,50
1,200
1,169
1,130
1,081
l,028
1,55
1,219
1,189
1,145
1,090
1,028
1,60
1,270
1,259
1,216
1,171
1,109
1,032
1,65
1,320
1,292
1,252
1,217
1,147
1,045
1,70
1,38
1,357
1,356
1,337
1,300
1,234
1,75
1,444
1,452
1,463
1,470
1,482
Плечо zвр
приложения силы давления от временной нагрузки определяют на основе данных
расчетной схемы (см. пример).
Плечо zприложения равнодействующей суммарного горизонтального давления
на стенку находят по формуле:
(9)
Если плоскость обрушения засекает откос засыпки, то плечо zприложения
силы давления грунта на стенку определяют также по формуле (6), а коэффициент Kmнаходят по таблицам 216 или 217.
Таблица
216
Значения коэффициентов KEи Kmдля определении
горизонтального давления земли при нисходящем откосе
φ
d
h
Значения коэффициентов при m,
равном
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
KE
Km
KE
Km
KE
Km
KE
Km
KE
Km
20°
0,00
0,320
1,00
0,340
1,00
0,356
1,00
0,368
1,00
0,379
1,00
0,10
0,376
1,05
0,388
1,04
0,398
1,04
0,406
1,04
0,414
1,03
0,20
0,420
1,05
0,423
1,04
0,431
1,04
0,435
1,04
0,440
1,03
0,30
0,447
1,03
0,451
1,03
0,456
1,03
0,458
1,03
0,460
1,02
0,40
0 467
1,02
0,470
1,02
0,471
1,02
0,473
1,02
0,475
1,02
0,50
0,481
1,01
0,482
1,01
0,483
1,01
0,484
1,01
0,484
1,00
0,(10
0,490
1,00
0,490
1,00
0,490
1,00
0,490
1,00
0,490
1,00
0,70
0,490
1,00
0,490
1,00
0,490
1,00
0,490
1,00
0,490
1,00
25°
0,00
0,269
1,00
0,288
1,00
0,299
1,00
0,310
1,00
0,317
1,00
0,10
0,315
1,05
0,326
1,04
0,332
1,03
0,341
1,03
0,345
1,03
0,20
0,352
1,04
0,356
1,04
0,361
1,04
0,365
1,04
0,368
1,03
0,30
0,375
1,03
0,378
1,03
0,382
1,03
0,384
1,02
0,386
1,02
0,40
0,393
1,02
0,394
1,02
0,396
1,02
0,397
1,02
0,397
1,01
0,50
0,401
1,00
0,402
1,00
0,403
1,00
0,403
1,00
0,403
1,00
0,60
0,405
1,00
0,405
1,00
0,405
1,00
0,405
1,00
0,405
1,00
0,637
0,405
1,00
0,405
1,00
0,405
1,00
0,405
1,00
0,405
1,00
30°
0,00
0,225
1,00
0,239,
1,00
0,250
1,00
0,253
1,00
0,265
1,00
0,10
0,264
1,05
0,274
1,04
0,280
1,04
0,284
1,03
0,290
1,03
0,20
0,294
1,04
0,298
1,04
0,302
1,04
0,395
1,03
0,307
1,02
0,30
0,314
1,03
0,316
1,02
0,317
1,02
0,319
1,02
0,321
1,02
0,40
0,325
1,01
0,326
1,01
0,327
1,01
0,328
1,01
0,330
1,01
0,50
0,332
1,00
0,332
1,00
0,332
1,00
0,333
1,00
0,333
1,01
0,577
0,333
1,00
0,333
1,00
0,333
1,00
0,333
1,00
0,333
1,00
35°
0,00
0,187
1,00
0,198
1,00
0,208
1,00
0,214
1,00
0,219
1,00
0,10
0,210
1,05
0,226
1,04
0,231
1,04
0,235
1,03
0,238
1,03
0,20
0,243
1,04
0,246
1,04
0,250
1,03
0,251
1,03
0,253
1,03
0,30
0,258
1,02
0,260
1,02
0,262
1,02
0,262
1,02
0,264
1,02
0,40
0,267
1,01
0,267
1,01
0,268
1,01
0,268
1,00
0,269
1,00
0,50
0,272
1,00
0,272
1,00
0,272
1,00
0,272
1,00
0,272
1,00
0,52
0,272
1,00
0,272
1,00
0,272
1,00
0,272
1,00
0,272
1,00
40°
0,00
0,150
1,00
0,163
1,00
0,170
1,00
0,177
1,00
1,179
1,00
0,10
0,180
1,05
0,185
1,04
0,189
1,03
0,192
1,03
0,195
1,03
0,20
0,200
1,04
0,201
1,03
0,203
1,03
0,204
1,02
0,205
1,02
0,30
0,210
1,02
0,211
1,01
0,212
1,01
0,213
1,01
0,214
1,01
0,40
0,216
1,00
0,217
1,00
0,217
1,00
0,218
1,00
0,218
1,00
0,467
0,218
1,00
0,218
1,00
0,218
1,00
0,218
1,00
0,218
1,00
45°
0,00
0,125
1,00
0,132
1,00
0,137
1,00
0,141
1,00
0,144
1,00
0,10
0,146
1,04
0,150
1,04
0,152
1,03
0,155
1,03
0,156
1,02
0,20
0,161
1,03
0,162
1,03
0,163
1,02
0,164
1,02
0,165
1,02
0,30
0,168
1,01
0,169
1,01
0,169
1,01
0,169
1,01
0,170
1,01
0,40
0,171
1,00
0,171
1,00
0,171
1,00
0,171
1,00
0,171
1,00
50°
0,00
0,100
1,00
0,105
1,00
0,108
1,00
0,111
1,00
0,113
1,00
0,10
0,116
1,04
0,118
1,03
0,121
1,03
0,122
1,02
0,123
1,02
0,20
0,127
1,02
0,128
1,02
0,128
1,02
0,129
1,02
0,129
1,02
0,30
0,132
1,00
0,132
1,00
0,132
1,00
0,132
1,00
0,132
1,00
0,384
0,132
1,00
0,132
1,00
0,132
1,00
0,132
1,00
0,132
1,00
Таблица
217
Значение коэффициентов KEи Kmдля определения
горизонтального давления земли при восходящем откосе
φ
Значения коэффициентов при m,
равном
d
h
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
KE
Km
KE
Km
KE
Km
KE
Km
KE
Km
30°
0,00
0,687
1,00
0,536
1,00
0,10
0,601
0,94
0,485
0,95
0,20
0,534
0,89
0,441
0,92
0,30
0,472
0,85
0,399
0,92
0,40
0,412
0,82
0,365
0,92
0,50
0,364
0,81
0,342
0,95
0,577
0,333
1,00
0,333
1,00
35°
0,00
0,530
1,00
0,434
1,00
0,393
1,00
0,10
0,461
0,94
0,387
0,96
0,357
0,95
0,20
0,402
0,88
0,345
0,92
0,327
0,94
0,30
0,348
0,87
0,312
0,91
0,300
0,94
0,40
0,304
0,85
0,287
0,93
0,280
0,90
0,50
0,272
0,94
0,272
0,99
0,272
1,00
0,52
0,272
1,00
0,272
1,00
0,272
1,00
40°
0,00
0,452
1,00
0,352
1,00
0,316
1,00
0,296
1,00
0,10
0,386
0,93
0,308
0,95
0,283
0,96
0,268
0,95
0,20
0,326
0,87
0,272
0,91
0,256
0,94
0,247
0,95
0,30
0,272
0,84
0,243
0,92
0,234
0,95
0,231
0,96
0,40
0,232
0,87
0,224
0,97
0,221
0,98
0,220
1,00
0,467
0,218
1,00
0,218
1,00
0,218
1,00
0,218
1,00
45°
0,00
0,500
1,50
0,289
1,00
0,253
1,00
0,233
1,00
0,222
1,00
0,10
0,405
1,43
0,246
0,92
0,221
0,95
0,210
0,96
0,202
0,97
0,20
0,320
1,36
0,212
0,90
0,198
0,93
0,192
0,95
0,187
0,96
0,30
0,245
1,29
0,186
0,92
0,180
0,96
0,178
0,97
0,177
0,98
0,40
0,180
1,23
0,171
1,00
0,171
1,00
0,171
1,00
0,171
1,00
0,414
0,171
1,00
0,171
1,00
0,171
1,00
0,171
1,00
0,171
1,00
50°
0,00
0,243
1,00
0,200
1,00
0,181
1,00
0,172
1,00
0,165
1,00
0,10
0,198
0,94
0,171
0,94
0,161
0,95
0,154
0,96
0,151
0,97
0,20
0,163
0,89
0,148
0,93
0,144
0,95
0,141
0,96
0,140
0,97
0,30
0,139
0,92
0,136
0,97
0,135
0,98
0,134
0,98
0,134
1,00
0,304
0,132
1,00
0,132
1,00
0,132
1,00
0,132
1,00
0,132
1,00
Пользование таблицами 211 - 217
показано на следующих двух примерах1.
1 А.И. Отрешко, А.М. Ивянский
и К.В. Шмурнов. Инженерные конструкции в гидромелиоративном строительстве.
Сельхозгиз, 1955.
Пример 1.Определить величину горизонтального
давления земли на подпорную стенку, приведенную на рис. 98.
Рис. 98. Схема к примеру 1
а) Выявление расчетного случая по таблицам 211 и 212.
Проводя линии от низа стенки к началу н и к концу к
нагрузки, находят тангенсы
По табл. 213 (для φ=
30°) для значений находят
соответствующие величины Kни Kк (в колонке для K), а именно Kн=0,34
и Kк
= 0,68.
Сравнивая в соответствии с указаниями табл. 212
величины K1,
K2 и K3 с
величинами Kни Kк,
определяют расчетный случай. Для нашего примера Kк> K3> Kн
и K1
> Kн. Это значит, что временная нагрузка попадает на
призму обрушения частично и расчет следует производить по 3-му случаю (см.
табл. 212).
б) Определение величины горизонтального давления земли и плеча
приложения его равнодействующей.
Так как по предыдущему был установлен расчетный случай 3-й, то
определение давления грунта производится по K3.
Выше были определены величины K3 = 0,590
и A3= 56.
Пользуясь табл. 213
(для φ = 30°), по величине K = 0,590 находят величины и KE: и KE = 0,112.
Далее по формуле (3) находят величину суммарного горизонтального давления Eземли
на стенку:
E = γAKE = 1,8×56×0,112 = 11,3 т.
Для нахождения плеча приложения равнодействующей горизонтального
давления грунта следует подразделить величину полного давления Eна
давление от временной нагрузки Eври давление от грунта засыпки Ез.
По рис. 99 длина части, попадающей на призму
обрушения временной нагрузки:
Вес временной нагрузки, находящейся на призме
обрушения:
Pвр = γlh0 =
1,8×1,51×3 = 8,15 т.
Горизонтальное давление Eвр от временной нагрузки определяется по формуле
(7):
Горизонтальное давление Eот грунта засыпки определяется по
формуле (8):
Eз = E- Eвр= 11,3 - 1,9 = 9,4 т.
Плечо давления грунта засыпки находится при помощи коэффициента Km, пользуясь табл. 215, по величинам и K1.
Следует оговорить, что независимо от того, какой случай является
расчетным, определение коэффициента Kmнужно производить по K1,
подсчитанному для первой схемы табл. 211.
Для нашего случая было определено K1 = 0,375 и по табл. 215
при m = 1,5
получаем Km= 1,13.
Плечо z3
приложения горизонтального давления грунта засыпки определяется по формуле (6):
Плечо zвр
приложения горизонтального давления от временной нагрузки (рис. 99):
где
Рис. 99. Схема к определению плеча приложения равнодействующей
Плечо zприложения равнодействующей суммарного горизонтального давления
на стенку определяется по формуле:
Пример 2.Определить величину Eи
плечо zдля
стенки, приведенной на рис. 100.
Рис. 100. Схема к примеру 2
а) Выявление расчетного случая (по таблицам 211 и 212)
аналогично примеру 1:
схема 1
схема 2
схема 3
По рис. 100 находим:
По табл. 213
(для φ= 35°) по
значениям находят значения Kни
Kк.
Величине соответствует
значение Kн = 0,252, а величине - значение Kк = 0,406.
Расчетный случай определяется из сравнения величин K1, K2и K3 с величинами Kни Kк
(по указаниям табл. 212).
Для данного примера:
K2 < Kк < K3; K1< Kн.
Это значит, что расчет следует производить по случаю 4а, т.е. при
плоскости обрушения, проведенной условно под конец нагрузки, и с дополнительной
проверкой по случаю 1.
б) Определение величины горизонтального давления земли и плеча приложения
его равнодействующей.
Для расчета по случаю 4а величина Eопределяется по формуле (5):
Выше было найдено:
Пользуясь табл. 213
(для φ = 35°), по величине находим
соответствующее значение:
и,
следовательно, E
= 1,8×40,5(0,834 - 0,173)0,272 = 13,1 т.
Дополнительная проверка по случаю 1: K1 = 0,247; A1
= 0,45. По табл. 213
для величины K = K1 = 0,247
находим величину KE
= 0,1655.
По формуле (3)
E = γAKE =
1,8×40,5×0,1655 = 12,1 т
<13,1,
т.е. случай 4а
дает значение выше, чем по случаю 1 и, следовательно, расчетное значение E = 13,1 т.
Плечо приложения равнодействующей суммарного давления находится так же,
как и в примере 1.
Так как плоскость обрушения (см. рис. 100) проведена под конец нагрузки,
то последняя целиком попадает на призму обрушения.
Следовательно, вес временной нагрузки, находящейся па призме обрушения:
Pвр = γeh0=
1,8×1,0×3,0 = 5,4 т.
Горизонтальное давление Eврот временной нагрузки:
Горизонтальное давление Eзот грунта засыпки:
Eз= Е - Eвр= 13,1 - 1,5 = 11,6 т.
По и K1 = 0,247,
пользуясь табл. 215 (при m = 1,25), находим Km= 1,12.
Плечо zз
приложения горизонтального давления Eзгрунта засыпки:
Плечо zвр
приложения равнодействующей горизонтального давления Eврот временной нагрузки:
где
Плечо zприложения равнодействующей суммарного горизонтального давления
на стенку: